2024年苏科版九年级数学中考提优几何模型3：手拉手全等模型

冲刺中考 中考提优几何模型三 手拉手全等模型 几何专题三:手拉手全等模型 模型:手拉手全等模型 如图, ABC是等腰三角形、 ADE是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=.结论::连接BD、CE,则有 BAD≌CAE. 模型拓展一:等边三角形中的手拉手全等模型 如图, ABC与 CDE均为等边三角形,点B、C、E三点共线,连接AE、BD,则 BCD≌ ACE。 模型拓展二:一般三角形中的手拉手全等模型 如图,在任意 ABC中,以AB为边作等边 ADB,以AC为边作等边 ACE,连接DC、BE,则 ADC≌ ACE. 模型拓展三:正方形中的手拉手全等模型 如图,在任意 ABC中,以AB为边作正方形ABDE,以AC为边作正方形ACFG,连接EC、BG,则 AEC≌ ABG. 典型例题 例1:如图, ADC与 EDG都为等腰直角三角形,连接AG、CE,相交于点H,问: (1)AG与CE是否相等? (2)AG与CE之间的夹角为多少度? 例2:在 ABC中,AB=CB,∠ABC=90 ,F为AB延长线上一点,点E在 BC上,且AE=CF. (1)求证:BE=BF; (2)若∠CAE=30 ,求∠ACF度数. 例3:如图,在直线AB的同侧作 ABD和 BCE, ABD和 BCE都是等边三角形,连接AE、CD,二者交点为H. 求证: (1) ABE≌ DBC; (2)AE=DC; (3)∠DHA=60 ; (4) AGB≌ DFB; (5) EGB≌ CFB; (6)连接GF,则GF∥AC; (7)连接HB,则HB平分∠AHC. 作业训练: 1.如图,在 ABC中,∠ABC=90 ,分别以AB,AC为边作等边 ABD和等边 ACE,连结DE,若AB=3,AC=5,则ED=( ). A. B. C.4 D. 2.如图, ABC和 ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90 ,连接CE交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE.下列结论中,正确的结论有( ) ①CE=BD;② ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④S四边形BCDE=BD•CE;⑤BC2+DE2=BE2+CD2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图,在 ABC中,AB=AC,点D、F是射线BC上两点,且AD⊥AF,若AE=AD,;则下列结论中正确的有( ) ①;②;③;④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,将线段CE绕点C按顺时针方向旋转得到线段,连接,,.下列结论:①若,则;②;③若,则;④若,,则.其中正确的结论有_(填正确的序号) 5.如图,是正 ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60 得到线段BO′,下列结论:①点O与O′的距离为4;②∠AOB=150 ;③;④其中正确的结论是_.(只填序号) 6.如图和 ACE是 ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90 ,下列说法正确的是:_. ①CD=BE,且DC⊥BE;②;③平分; ④取BC的中点M,连MA,则MA⊥DE. 7.如图,若和 ACE都是等边三角形,求的度数. 8.如图, ACB和 DCE均为等腰三角形,∠ACB=∠DCE=90 ,点A,D,E在同一条直线上,连接BE. (1)求证:AD=BE; (2)若∠CAE=15 ,AD=4,求AB的长. 9.如图, ABD和 BCE都是等边三角形,∠ABC<105 ,AE与DC交于点F. (1)求证:AE=DC; (2)求∠BFE的度数; (3)若AF=9.17cm,BF=1.53cm,CF=7.53cm,求CD. 10.如图, AOB和都是以为直角顶点的等腰直角三角形,连接AC,. (1)如图1,试判断与的数量关系和位置关系,并说明理由. (2)如图2,若点恰好在上,且为的中点,,求 BOD的面积. (3)如图3,设AC与BD的交点为E,若AE=CE,,,求CD的长. 11.问题:如图1,在等边三角形ABC内,点P到顶点A、B、C的距离分别是3,4,5,求∠APB的度数? 探究:由于PA、PB、PC不在同一个三角形中,为了解决本题,我们可以将 ABP绕点A逆时针旋转60 到 ACP′处,连结P P′,这样就将三条线段转化到一个三角形中,从而利用全等的知识,求出∠APB的度数.请你写出解答过程: 应用:请你利用上面的方法解答:如图2, ABC中,∠CAB=90 ,AB=AC,E、F为BC上的点,且∠EAF=45 ,求证: 12.【探究发现】(1)如图1,在四边形中,对角线,垂足是O,求证:. 【拓展迁移】(2)如图2.以三角形的边、为边向外作正方形和正方形,求证:. (3)如图3,在(2)小题条件不变的情况下