第11讲 6.4.3 第2课时 正弦定理（知识清单+11类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第11讲 6.4.3 第2课时 正弦定理 课程标准 学习目标 ①能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。 ②掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题。 ③利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系。 ④利用正弦、余弦定理判断三角形的形状。 ⑤掌握正弦、余弦定理的简单应用。 1.利用余弦定理加上本节课学习的正弦定理就可以正式进行解三角形的问题的训练与提升，提高学生数学核心素养，提升数学学习能力 知识点01：正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 【即学即练1】（2023上·山东青岛·高三统考期中）在中，角的对边分别为，，，．则 ． 【答案】 【详解】在中，，，， 因为，所以， 因为， 所以，所以. 故答案为：. 知识点02：解决几何问题的常见公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【即学即练2】（2023上·上海虹口·高三校考期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】由题意可得的面积为. 故答案为：. 题型01 已知两角及任意一边解三角形 【典例1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 【典例2】（2023下·河北邯郸·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 . 【典例3】（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）在中，，，，点在的延长线上，且，则 . 【变式1】（2023上·江苏徐州·高三统考学业考试）在中，边长，则边长（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）在中，已知，，，则 ； ； ． 【变式3】（2023下·湖南邵阳·高三统考学业考试）中，角的对边分别为，已知，，，则 . 题型02 已知两边和其中一边的对角解三角形 【典例1】（2023上·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）已知中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【典例2】（2023上·甘肃平凉·高三校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知． (1)求的值； (2)求c的值． 【典例3】（2023上·山西太原·高三统考期中）在中，，，，在上，且． (1)求的值； (2)求的面积． 【变式1】（2023上·安徽·高二校联考期中）在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则C=（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知，， ，则 ． 【变式3】（2023上·江西·高二校联考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，. (1)求； (2)求的面积. 题型03 三角形解的个数 【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【典例2】（2023上·上海嘉定·高三校考期中）在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（多选）（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）中，内角A，B，C对边长分别为a，b，c，下列选项的三角形有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【典例4】（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是 . 【变式1】（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在中，，，，满足条件的（    ） A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在 【变式2】（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（2023上·四川成都·高二石室中学校考开学考试）已知的内角的对边分别为则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一个解 B．若，