第10讲 6.4.3 第1课时 余弦定理（知识清单+4类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第10讲 6.4.3 第1课时 余弦定理 课程标准 学习目标 ①掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法。 ②会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 1.通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理； 2.在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用； 知识点01：余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； 【即学即练1】（2023上·全国·高三专题练习）在中，， ，，则（    ） A． B．5 C．10 D． 【答案】B 【详解】由余弦定理得， 即，解得（负值已舍去）. 故选：B. （2）余弦定理的推论 ； ； 【即学即练2】（2023上·全国·高三专题练习）的内角，，所对的边分别为，，.已知，则 ． 【答案】// 【详解】在中，由余弦定理知， 又，所以， 又，所以. 故答案为：. 知识点02：解三角形 （1）解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【即学即练3】（2023·全国·高一课堂例题）根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°，）： (1)已知，，，求a； (2)已知，，，求A． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理，得， 所以． （2）由余弦定理，得， 所以． （2）余弦定理在解三角形中的应用 ①已知三角形的三边解三角形 连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角. ②已知两边和它们的夹角解三角形 用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角. ③已知两边及其中一边的对角解三角形 例如已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角. 题型01 已知三边解三角形 【典例1】（2023上·新疆·高二学业考试）在中，已知，，，则 . 【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）已知的三边分别为，和，试求最大内角的度数． 【变式1】（2023上·上海宝山·高三校考期中）已知的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，，，，则 【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）的三边之比为．求这个三角形的最大角． 题型02 已知两边及一角解三角形 【典例1】（2023上·新疆·高二学业考试）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【典例2】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】6．（2021上·广东·高二）在中，已知. (1)求的长 (2)求的值 【变式1】（2023上·湖南常德·高二校联考期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）在锐角中，，的面积为，则= ． 【变式3】（2023上·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）在中，，则 . 题型03 判断三角形的形状 【典例1】（2023下·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【典例2】（2023下·海南海口·高一海南中学校考期中）在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上答案都不对 【典例3】（2023上·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，．是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求；若不存在，说明理由． 【变式1】（2023下·江苏宿迁·高一统考期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2】（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第三十二中学校校考期中）在中，若，，则的形状是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式3】（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c (1)若，求∠B； (2)若，试判断△ABC的形状． 题型04 求三角形中边长（周长）取值范围 【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）设是钝角三角形的三边