专题15 导数与函数的单调性（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题15 导数与函数的单调性 知识点一 求函数的单调性 1、函数的单调性：在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数． 在上为减函数． 2、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求出的导函数 （3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间 （4）列出表格 例1．（1）、（2024上·重庆·高二重庆南开中学校考期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． （2）、（2023·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ． （3）、（2023下·四川眉山·高二校联考阶段练习）的单调递减区间是 . 1．（2024上·重庆长寿·高二统考期末）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 2．（2023上·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数在上的单调递减区间为 . 3．（2022下·北京·高二汇文中学校考期末）函数在上的单调递增区间是 . 例2．（2023上·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 例3．（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知函数，其中. (1)当时，求的单调区间； (2)已知，若只有一个零点，求的取值范围. 知识点二 函数单调性的应用 1、导数与单调区间的联系 （1）函数在可导，那么在上单调递增.此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零. 等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：的单调递增区间为，而，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为在处的导数为0，但是位于单调区间内. （2）函数在可导，则在上单调递减 （3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由的符号能否推出在的单调性呢？如果不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性.（这也是求函数单调区间的理论基础） 例4．（1）、（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）、（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）、（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为 ． （4）、（2023上·新疆克孜勒苏·高三统考期中）若不等式对恒成立，则实数的取值范围 . 1．（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（2023上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考阶段练习）设函数在定义域上单调递减，则的取值范围是 . 4．（2023上·上海·高二校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ． 例5．（2024上·陕西榆林·高二统考期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)求方程的实数根个数. 例6．（2023上·湖北·高二期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明： 知识点三 综合应用 例7．（2023上·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 例8．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设是的两个极值点，求证：． 例9．（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对于任意的，且，恒有，求实数的取值范围． 例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围． 例11．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 例12．（2023·全国·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 例13．（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知函数）. (1)讨论的单调性； (2)若时，，求实数的取值范围； (3)对任意，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 导数与函数的单调性 知识点一 求函数的单调性 1、函数的单调性：在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数． 在上为减函数． 2