专题12 导数的概念与计算（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题12 导数的概念与计算 知识点一 平均变化率 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率 一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为： 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即。 例1．（1）、（2023下·高二课时练习）函数从到的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·全国·高二专题练习）函数，则自变量从变到时函数值的增量为（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·高二校联考期末）已知质点运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则质点在时刻的瞬时速度为 米/秒． 1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 2．（2021下·浙江嘉兴·高二校联考期中）一质点做直线运动，若它所经过的位移与时间的关系为，设其在时间段内的平均速度为（     ） A．2 B． C．3 D． 3．（2023下·甘肃武威·高二校联考阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B．0 C．1 D．2 知识点二 导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作 例2．（1）、（2023上·全国·高二期末）已知函数在处可导，且则＝ ． （2）、（2023上·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（    ） A． B． C． D． 1．（2023下·高二课时练习）如果函数在处的导数为1，那么＝（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（2022上·安徽芜湖·高二校考期末）已知函数，则（    ） A．2 B． C．4 D． 知识点三 常见函数的导数公式 几个常用函数的导数如下表： 函数 导数 （为常数） 例3．（1）、（2024上·天津红桥·高二统考期末）已知函数，则（    ） A．4 B． C． D． （2）、（2023下·高二课时练习）（多选题）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （3）、（2024上·云南昭通·高三校考阶段练习）已知函数，且，则的值可以为（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 1．（2023下·新疆伊犁·高二统考期中）设，若，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 2．（2023下·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·天津红桥·高二统考期末）已知函数，则 ． 4．（2023上·全国·高二期末）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为 . 5．（2024上·上海闵行·高二闵行中学校联考期末）无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 导数的概念与计算 知识点一 平均变化率 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率 一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为： 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即。 例1．（1）、（2023下·高二课时练习）函数从到的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的求法求得正确答案. 【详解】当时，；当时，. 所以平均变化率为. 故选：B 2．（2023下·全国·高二专题练习）函数，则自变量从变到时函数值的增量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据变量的增量的定义进行计算． 【详解】因为 ，所以，故C项正确. 故选：C. 3．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·高二校联考期末）已知质点运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则质点在时刻的瞬时速度为 米/秒． 【答案】1 【分析】求出代入即可. 【详解】由题意得，所以， 即质点在时刻的瞬时速度为1米/秒． 故答案为：1. 1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根