三余弦与三正弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

江南中学高一数学组 1 。 即斜线与平面内一直线的夹角 的余弦值等于斜线与平面所成的 角的余弦值乘以射影与平面内 的直线的夹角的余弦值， 即。 为便于记忆，我们约定： 为斜线角，为线面角，为射影角。 一、三余弦定理（最小角定理）： 1、定理：设点为平面外一点，过点的斜线在 平面上的射影为，为平面上的任意直线， 则三角的余弦关系为： 。 3、定理说明： ，即斜线与平面所成角是斜线与平面内 所有直线所成角中最小的角。 2、定理证明： 为便于记忆，我们约定： 为线棱角，为线面角，为二面角。 2、定理证明： ， ，得。 3、定理说明：，即二面角是线面角中的最大角。 二、三正弦定理（最大角定理）： 1、定理：设二面角的大小为，在平面 上有一条射线，它和棱所成的角为，和平面 所成的角为，则。 解：过分别作的垂线，垂足， 则，， 由最小角定理知：， 又，所以。 三、定理应用： 例1、已知二面角是直二面角，， 设直线与平面所成角分别为，则（ ） 解：作平面，在平面 内作于， 则（二面角），（线面角），为线线角， 三、定理应用： 由最小角定理知： ；由最大角定理知：， 所以排除A、B、C，选D。 例2、（2018浙江高考第8题）已知四棱锥的底面 是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设 与所成角为，与平面所成角为，二面角 的平面角为，则（ ） 下面证一下：。 过点作， 交于，取中点， 易证 三、定理应用： 解：记二面角的大小为， 由最大角定理知：， 易求得，所以。 例3、2017浙江高考第15题）如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点处进行射击训练。易知点到墙面的距离为， 某目标点沿墙面上的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点， 需计算由点观察点的仰角的大小。 若，则的最大值为________ （仰角是直线与平面所成角）。 三、定理应用： 解：（1）略； （2）作于，则平面， 即是在平面上的射影， 记在平面上的射影为， 二面角的大小为， 例4、（2017全国卷II第19题）如图，在四棱锥中， 侧面为等边三角形，且垂直于底面， 是的中点。 （1）证明：直线平面； （2）点在棱上，且直线与底面所成角， 求二面角的余弦值。 三、定理应用： 设，由于直线与平面所成角为， 则， 从而， 故， 由三余弦定理得： ； ； 再由三正弦定理得： 三、定理应用： 解：（1）由平面平面可知， 在平面上的射影为， 三、定理应用： 由三余弦定理得： ， 又由，得， 而，所以； 例5：（2020年浙江高考19题）如图，三棱台中， 面面， （1）证明：； （2）求与面所成角的正弦值。 三、定理应用： 解（2）过作于，于，连， 面面于，面， 则（三垂线定理）， 即为二面角的平面角， 设，则，，； ，与平面所成角即为与平面所成角，设为， 则由三正弦定理得：。 例5：（2020年浙江高考19题）如图，三棱台中， 面面， （1）证明：； （2）求与面所成角的正弦值。 $$