专题10 简单几何体的表面积与体积（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高一数学寒假专项课精讲与精练（人教A版2019）

专题10 简单几何体的表面积与体积 知识点一 棱柱、棱锥与棱台的表面积与体积 表面积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 例1．（2023上·北京·高三北京育才学校校考期中）从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥，则它的体积与正方体体积的比为 ；它的表面积与正方体表面积的比为 .    例2．（2023上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，若直线与平面所成角的大小为，则该四棱柱的体积为 . 例3.（2023上·山东·高三校联考阶段练习）盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称“三才碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人育之”的道理．如图是乾隆时期的山水人物方盖碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为﹐下底面边长为，高为，则茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（    ） A．7碗 B．8碗 C．9碗 D．10碗 例4．（2024上·江苏泰州·高三统考期末）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 1．（2023上·上海·高二上海市民办新虹桥中学校考期中）如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，、分别是、的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 .    2．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）四棱锥的底面ABCD是平行四边形，点E、F分别为PC、AD的中点，平面BEF将四棱锥分成两部分的体积分别为且满足，则 ． 3．（2024上·山西·高三期末）如图，玛雅金字塔是世界上最大的金字塔之一，同埃及金字塔不同，它的每个侧面都是等腰梯形，并且梯形两腰延长得到的三角形是一个呈“金”字的等边三角形，它的底面是边长为的正方形，塔高为．该金字塔的体积约为（    ）．（参考数据，）    A．120064 B．40977 C．34048 D．31659 4．（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，如图，棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为（    ） A． B． C． D． 知识点二 圆柱、圆锥与圆台的表面积与体积 体积公式 体积 柱体 锥体 台体 球 例5．（2023·四川甘孜·统考一模）如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 例6．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）粮食是关系国计民生的重要战略物资如图为储备水稻的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的4倍，且这两个圆锥的顶点相距，每立方米的空间大约可装吨的水稻，则该粮仓最多可装水稻（    ）    A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 例7．（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）如图，若圆台的上、下底面半径分别为且，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 . 例8．（2023·全国·模拟预测）如图，一个酒杯盛水部分可以视为一个倒置的圆锥，若该酒杯的轴截面是一个正三角形，且该酒杯原盛有一定量的溶液，现将一颗铁球贴切放入酒杯中，溶液刚好没有溢出且刚好淹没这颗铁球（即液面与球相切），则铁球的体积与原溶液体积之比为 ． 1．（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面半径为2，该圆台内切球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，若新几何体的高为5，则圆柱的体积为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023上·山东潍坊·高二统考阶段练习）在化学知识中，空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积之比，即空间利用率晶胞含有原子的体积晶胞体积.如图是某金属晶体晶胞的一种堆积方式——体心立方堆积，该堆积方式是以正方体8个顶点为球心的