2024年人教版九年级数学中考专题训练：实际问题与二次函数

2024年人教版九年级数学中考专题训练 实际问题与二次函数 1．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=，BC=5，动点P从点D出发，以1cm/s的速度沿DB方向运动，动点Q也从点D出发，以/的速度沿DC方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点C时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为（＞0）． （1）求线段DB的长； （2）请判断PQ与BC的位置关系，并加以证明； （3）伴随P，Q两点的运动，将△DPQ绕点P旋转，得到△PMN，点M落在线段PQ上，若△PMN 与△DBC的重叠部分的图形周长为y， ①请求出y与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围； ②求出当4＜y≤5时的取值范围． 2．已知抛物线过，B（■■）两点，且交于y轴的负半轴．请证明抛物线的对称轴是直线（其中点B的坐标被污渍盖住了）． (1)请问能否根据题中信息求抛物线的解析式？若能，请写出解题过程；若不能，请说明理由； (2)请把原题补充完整，并完成原题证明． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A与点B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，，点P为AB中点，点N在线段OA上运动(点N不与O，A重合)，过P作交OB于点M，连接MN交OP于点D． (1)求证： (2)设线段OM的长为x： ①记的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出y的最小值． ②当 =时，求OM的长． 4．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）． （1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE； （2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，． 求证：抛物线总与轴有两个不同的交点； 若，求此抛物线的解析式． 已知轴上两点，，若抛物线与线段有交点，请写出的取值范围． 6．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，对称轴为直线，顶点为点D．          (1)求二次函数的表达式； (2)连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：； (3)如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点且，得到新抛物线，交y轴于点N．如果在的对称轴和上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标． 7．已知抛物线与轴交于和两点，与轴正半轴交于点，若的面积， （1）求抛物线的对称轴及解析式．    （2）若为对称轴上一点，且，以、为顶点作正方形（、、、顺时针排列），若正方形有两个顶点在抛物线上，求的值．    （3）如图，、两点关于对称轴对称，一次函数过点，且与抛物线只有唯一一个公共点，平移直线交抛物线于、两点（点在点上方），请你猜想与的数量关系并加以证明．    8．如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF． （1）求证：DE与⊙O相切： （2）若AE＝8，AB＝10，求DE长； （3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF的最大值． 9．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，点P在BC边上，点G在AD边上（P、G不与正方形顶点重合），，于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF． (1)求证：； (2)求证：四边形PEFD是菱形； (3)若，请直接写出四边形PEFD的面积S的取值范围． 10．（2015泉州）阅读理解抛物线上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题． 问题解决 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于C点，与函数的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点． （1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°； （2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点． ①求证：； ②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围． 11．已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点(点在点右侧)，点、关于直线：对称. (1)求、两点的坐标，并证明点在直线上； (2)求二次函数解析式； (3)过点B作直线交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值. 12．某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 活动情境： 如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿