2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，点C在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 2．如图，为直径，E为上一点，的平分线交 于C点，过C点作的延长线于D点，直线与射线交于P点． (1)求证：为切线； (2)若，，求的长． 3．如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点D．点E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 4．如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 5．如图，已知是直径，且，C，D是上的点，，交于点E，连接， ，过点D作射线交延长线于点F． (1)求图中阴影部分的面积（结果保留π）； (2)若，试证明是的切线． 6．如图，在中，，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求线段的长． 7．如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 8．如图，是的直径，直线经过上的点E，于点C，交于D，平分∠BAC． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 9．如图，四边形内接于，是的直径，弧弧，过点C作交延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 10．如图，为的直径，为上一点，，． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 11．如图，是直角三角形，，点是边上一点，以为直径作交边于点，连接，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 12．如图，在中，，平分交于点E，点D在上，，是的外接圆，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 13．如图，在中，，以边为直径作交于点D，过点D作交于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，且，则的长为 ． 14．如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆经过点A，延长交圆O于点E，=，连接． (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求图中阴影部分面积． 15．如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 16．如图，点P是的直径延长线上一点，C为上一点，过点C且，平分，点E为弧的中点，连接交于点F. (1)求证：为的切线； (2)求证：.． 17．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点．    (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 18．如图，在中，，，．的平分线交于，经过、两点的交于，且点在上． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的性质的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理． （1）连接．如图，先根据垂径定理，利用 得到，再证明，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）先根据圆周角定理得到．再证明为等边三角形，则，接着根据平行线的性质得到． 【详解】（1）证明：连接．如图， 平分， ， ， ， ∵， ． 为的半径； 是的切线； （2）解：是直径， ． ∵， ，， ， 为等边三角形， ，， ∵， ， ． 2．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定和相似是解题的关键． （1）连接，证明，即可． （2）连接，证明，结合勾股定理，求得，再证明列出比例式计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵的平分线交 于C点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵    ， ∴， ∴为切线． （2）解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 设，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 3．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接根据三角形中位线定理可得，从而得到，进而得到，可证得，从而得到，即可求证； （2）根据直角三角形的性质可得到，进而得到，再由，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵，E为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，切线的判定，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．(1)见解析 (2)