2024年中考数学高频考点突破——旋转

2024年中考数学高频考点突破——旋转 1．综合与实践 问题情境： 在“数学活动”课上，老师让同学们利用如下图形进行图形变换的有关探究．如图①，已知四边形，其中，，，对角线平分． 数学思考：    (1)“勤学小组”在图①的基础上连接，经过观察发现，请证明这个结论； 猜想证明： (2)“奋进小组”在图①的基础上，将沿方向平移，得到，连接，，如图②，当时，试判断四边形的形状，说明理由并求出此时平移的距离； (3)“好问小组”在图①的基础上，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，如图③，请判断线段和的数量关系，并加以证明； (4)在图③中，若，请直接写出线段的长度． 2．在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形 和共顶点，且、、三点共线， ，连接，是的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？      【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以是中点入手，如图2，通过延长与相交于点，证明，得到，随后通过得，即，又，所以且． (1)请结合小颖的证明思路利用结论填空：当，时， ___________；___________． 【类比探究】 (2)如图3，若将绕点逆时针旋转度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 (3)若将绕点逆时针旋转度（），当时，请直接写出旋转角的度数为___________． 3．课本再现    (1)如图1，两张等宽的纸条交叉放在一起，重合部分构成的四边形的形状是______； (2)如图2，横着放置的纸条是斜着放置的纸的宽的两倍，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，连接，若，沿将纸条剪开，再将重新放置到的位置，使两个直角顶点重合，．A．三点在同一直线上，如图4．则与的数量关系是______． (4)在（3）的条件下，将绕点逆时针方向旋转．旋转角为，如图5．    ①若，则旋转用的度数是______； ②当旋转角为时，探究与的数量关系． 4．如图，在中，，，，在平面内将线段绕点顺时针旋转至线段的位置，是的中点．    (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，在线段的旋转过程中，当的长取得最小值时，请求出的面积． 5．综合与实践 问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为．    (1)观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________． (2)探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长． 6．如图，在中，，在底边上取点P，连接，将线段绕点P顺时针旋转，得线段，过点E作交或其延长线于点H．    (1)面积的最大值为___________． (2)当时，求的值． (3)“当时，把点P取在腰上，比如取在上，然后把绕P顺时针旋转，得到线段，再过E作的垂线，交或其延长线于H，则的值也是确定不变的”你认为这个结论对吗，请在备用图上画出示意图，并说明理由．    (4)你能根据上面的解答过程得出更一般的结论吗？ 7．如图1，在中，，，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接．      (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长； (3)如图3，若点F为的中点，分别连接和，求证：． 8．已知：在正方形中，为对角线上一点，过点作，交于点，连接，为的中点，连接，．    【猜想论证】 (1)猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【拓展探究】 (2)将图中绕点逆时针旋转得到图，取中点，连接，你在中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 9．如图，在中，，，点D在直线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．    (1)线段与的数量关系为___． 拓展迁移 (2)当点D在线段上（点D不与点A，C重合）时，判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 类比运用 (3)过点A作交于点N，若，请直接写出的值． 10．如图所示，等腰直角中，． (1)如图1所示，若D是内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到，连结，，则线段、的关系为______； (2)如图2所示，若D是外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，且，求证：； (3)如图3所示，若是斜边的中线，为下方一点，且，，，求出的长． 11．如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点为的中点，连接，．    (1)观察猜想：线段和的数量关系为；和的位置关系为_____． (2)探究证明：把绕点逆时针旋转到如图所示位置，试判断（）中的关系是否仍然成立．如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由． (3)拓展应用；若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当