2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最大值

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最大值 1．综合与探究 如图，已知抛物线与轴交于，两点点位于点的右边，与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．    (1)求，两点的坐标． (2)若，点位于第四象限，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． (3)在中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点在平移后的抛物线上确定一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．综合与探究 如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为点B，点D在y轴上，且．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t，当时，求四边形的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值； (3)设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t，点Q在直线上，若以为边，点为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标． 3．抛物线 交x轴于A，B两点（点A在点B的左边）．    (1)如图，若抛物线交y轴正半轴于点C，且，求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标； (2)在（1）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，作轴交于点，求的最大值及此时点P的坐标； (3)坐标平面内一动点与点N关于y轴对称，若线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围． 4．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．    (1)求抛物线及直线的表达式； (2)过点P作，垂足为点N．求线段的最大值； (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m，n（）分别是方程的两根．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段OA上的一个动点（不与点O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴左侧），连接OD，AD． ①求面积的最大值，并求出此时点D的坐标； ②当为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 6．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是直线下方抛物线上一个动点，过点作直线，交于点，过点作轴，垂足为，交于点．    (1)直接写出，，三点的坐标，并求出直线的函数表达式； (2)当线段取最大值时，求的面积； (3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求线段的长度； (2)点P为直线下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴，交于点D，作轴，交抛物线于点E．求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，M为射线上的动点，过点M作轴交新抛物线的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 8．如图1，已知抛物线与轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．      (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是直线上方抛物线上的点，过点P作，，与分别交于点Q和E，如图2，求的最大值； (3)连接与，是否存在以为直角边的．如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 9．已知抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)若点M是抛物线的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标； (2)在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若，且，求a的取值范围． 10．如图1，抛物线与x轴交于点x和点，与y轴交于点C，且，P为上方抛物线上一动点，其横坐标为m．    (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，过点P作，求的最大值． 11．已知二次函数．    (1)若函数图象经过点，，求抛物线的解析式； (2)若，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线，始终与函数图象交于A，B两个定点，若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，M、A两点关于抛物