精品解析：江苏省南京市江宁区2023-2024学年高二上学期期末统考数学试卷

2023—2024学年第一学期期末试卷 高二数学 2024.01 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，是其前n项和，，（），则（ ） A. B. n C. D. 3. 设a为正实数，若圆与圆相外切，则a的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 24 D. 26 4. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→……． 现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．当时，使得的最小正整数n值是（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 10 5. 圆关于直线对称后的圆的方程为（ ） A. B. C D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与抛物线交于A、B两点（异于O点），若，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 若函数在处有极大值，则常数c（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. -1或-3 8. 已知圆的一条切线与双曲线C：（，）有两个交点，则双曲线C离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有错选的得0分． 9. 已知曲线C的方程为（），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线C为圆 B. “”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要且不充分条件 C. 存在实数k使得曲线C为双曲线，且离心率为 D. 当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 10. 已知直线，，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线，之间的距离为1 11. 在数列中，，（），前n项和为．则下列结论正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 是递增数列 12. 已知函数的定义域为R，其导函数满足，则（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在平面直角坐标系xOy中，经过两点，的直线倾斜角为45°，则实数m的值为_______________． 14. 如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数_______________． 15. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的最大值是_______________． 16. 如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则_______________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知圆C经过两点，，且圆心在直线上． （1）求圆C的方程； （2）过点作直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l方程． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有三个不同零点，求实数m的取值范围． 19. 对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆C：（），它的离心率是其伴随双曲线M的离心率的倍． （1）求椭圆C伴随双曲线M的方程； （2）如图，点分别为双曲线M的下顶点和上焦点，过F的直线l与M上支交于两点，的面积为，求直线的方程． 20. 已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，，成等差数列， （1）求数列的通项公式； （2）数列的首项，其前n项和为，且 ，若数列满足，求的前n项和． 在如下两个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题． ①（，）； ②（）． 21. 已知椭圆C：（）左，右焦点分别为，，离心率，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程． （2）若A，B为椭圆C上的两个动点，过且垂直x轴的直线平分，证明：直线过定点． 22. 已知函数． （1）若，求函数的增区间； （2）若不