复习07等差等比数列（十二大考点）-2024年高二数学寒假复习与预习手册（人教A版2019）

复习07等差等比数列 一、等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 二、等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 三、等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 四、等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 五、等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 六、等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 考点01等差数列基本量的计算 【方法点拨】（1）可由与构造关于的方程组即可求解 （2）利用等差数列的性质可简化计算 【例1】设为各项均不为零的等差数列的前n项和，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【例2】在等差数列中， (1)已知，，，求和； (2)已知，，求； (3)已知，，，求． 【变式1-1】已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．48 B．52 C．54 D．56 【变式1-2】记公差不为零的等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 【变式1-3】等差数列的首项为5,公差不等于零.若,则（    ） A．-2017 B． C． D．-2014 考点02等差数列的证明 【方法点拨】一般用定义法判断一个数列是等差数列：若数列满足或为,则数列是等差数列. 【例3】已知数列满足，，记. (1)求，； (2)求证：数列是等差数列； (3)求数列的前项和. 【例4】已知数列满足. (1)求证：是等差数列. (2)求数列的通项公式. 【变式2-1】已知数列中，，，. (1)求的值； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 【变式2-2】已知数列满足，（），令. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【变式2-3】在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列； 考点03等差数列的性质 【方法点拨】（1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 【例5】在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【例6】在等差数列中，是方程的两根，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．6 【变式3-1】已知数列、是等差数列，其中且，那么 ． 【变式3-2】在等差数列中，若，则 . 【变式3-3】已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（    ） A． B． C． D． 考点04等差数列前n项和的性质 【方法点拨】（1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数) （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 【例7】已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（    ） A． B． C． D． 【例8】（多选）已知各项都是实数的数列的前项和为，则下列说法正确的是（ 　 ） A．若，则