精品解析：广东省广州市中山大学附属中学2024届高三上学期第一次调研数学试卷

广州市中大附中2024届高三上学期第一次调研 数学学科试卷答案解析 本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 考生注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答； 2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，为z的共轭复数，则在复平面表示的点在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（    ） A. 1 B. C. D. 4. 函数是（ ） A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为 C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为 5. 已知为数列的前项和，若且，设，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数与世代间隔是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型来描述累计感染甲型流感病毒人数随时间t，（单位：天）的变化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔T之间的关系近似满足，根据已有数据估计出时，．据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至的3倍至少需要（参考数据：，）（ ） A. 6天 B. 7天 C. 8天 D. 9天 7. 已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆E：，过E外一点P作E两条切线PA，PB，，记P的轨迹为T，圆C：，记T与C的交点为，当的最大值m最大时，，则E的离心率为（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 下列函数中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据方差为，平均数；最大和最小两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ） A. 剩下的8个样本数据与样本数据的中位数不变 B. C. 剩下8个数据的下四分位数大于与原样本数据的下四分位数 D. 11. 已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），则下列结论正确的有（ ） A. 抛物线C的方程为 B. 线段AB的长度为8 C. 以AF为直径的圆和抛物线的准线相切 D. 12. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 13. 在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为____________． 14. 在数列中，，则__________． 15. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为___________. 16. 正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为____________． 四、解答题（共70分） 17. 已知为锐角三角形，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 18. 已知数列，满足，且. （1）令，求数列的通项公式； （2）若数列为各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和. 19. 如图，点在以为直径圆上，垂直于圆所在平面，为的重心. （1）求证：平面平面； （2）若，，求二面角的余弦值. 20. 为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表： 运动鞋款式 A B C D E 回访顾客（人数） 700 350 300 250 400 满意度 注： 1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值； 2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率． （1）从所有回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率； （2）从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望； （3）用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明） 21. 已知为坐标原点，椭圆的上焦点是抛物线的焦点，过焦点与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆于两点，且，