1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 课件-2023-2024学年北师大版数学八年级下册

1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 1. 掌握等边三角形的判定定理，并会运用其解决问题. 2. 掌握含30°角的直角三角形的性质. 学习目标 难点 重点 我们刚刚学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形该如何判定呢？ 新课引入 （1）一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 新知学习 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. ①三条边相等的三角形是等边三角形（定 义）. ②三个角相等的三角形是等边三角形. （2）等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 思考 你能证明这些结论吗？ 证明 三个角都相等的三角形是等边三角形吗？ 已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C. 求证：△ABC是等边三角形. C B A 证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC. 又∵∠A=∠C， ∴BC=AB. ∴AB=BC=CA， ∴△ABC是等边三角形. 归纳 等边三角形的判定定理 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言： ∵∠A＝∠ B＝ ∠ C， ∴ △ABC是等边三角形. C B A 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？该如何证明呢？ 分析：在等腰三角形中，有一个角是60°，有两种情况： 1.这个角是底角； 2.这个角是顶角． 思考 探究 A C B 60° 1.这个角是底角： 已知:如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°． 求证: △ABC是等边三角形． 证明: ∵AB=AC，∠B=60° ∴∠C=∠B=60°， ∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-60°-60°=60°． ∴AC=BC ∴ AC=BC=AB ∴△ABC是等边三角形 2.这个角是顶角： 已知： 若AB=AC，∠A= 60°. 求证：△ABC是等边三角形． A C B 60° 证明：∵AB=AC ，∠A=60°. ∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°. ∴AC=BC ∴AB=AC=BC. ∴△ABC是等边三角形 归纳 定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 等边三角形的判定定理 几何语言： ∵AB＝AC，∠A＝ 60°， ∴ △ABC等边三角形. C B A 例1 如图，△ABC是等边三角形，点E是AC上一点，∠1＝∠2，BE＝CD.请判断△ADE的形状，并说明理由． 解：△ADE是等边三角形． 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°. 在△AEB和△ADC中， AB＝AC，∠1＝∠2，BE＝CD， ∴△AEB≌△ADC（SAS）， ∴AE＝AD，∠BAE＝∠EAD＝60°， ∴△AED为等边三角形． 做一做 用两个含有30°角的三角板，能拼出一个等边三角形吗？ 300 300 300 300 结合等边三角形的性质，思考在直角三角形中，30°角所对的直角边 与斜边有怎样的大小关系？如何证明呢？ 探究 已知：如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°. 求证：BC= AB. C B A 证明：延长BC至点D，使CD=BC，连接AD． ∵∠ACB=90°，∠BAC=30° ， ∴∠ACD=90°，∠B =60°. ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（ SAS ）. ∴AB=AD. ∴△ABD是等边三角形. ∴BC= BD= AB. C B A D 归纳 定理: 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言： 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°． ∴BC= AB． A B C 30° 例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高. 求证： C B A D CD= AB C B A D ∴∠DAC=∠ACB+∠B=15°+15°=30°. ∵CD是腰AB上的高， ∴∠ADC=90°. ∴CD= AC. ∴CD= AB. 证明：在△ABC中， ∵AB=AC ，∠B=15°， ∴∠ACB=∠B=15°. 1.如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A 旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为________． 课堂练习 2.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是 (　　) A．3.5