1.1.3等腰三角形的判定与反证法课件2023-2024学年北师大版数学八年级下册

1.1.3 等腰三角形的判定与反证法 1. 掌握等腰三角形的判定定理及其运用. 2. 理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明. 学习目标 难点 重点 等腰三角形的两个底角相等. 我们上节课学习过等腰三角形的性质定理，等腰三角形的性质有哪些呢？ 简述为：‘‘等边对等角” 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 简述为： ‘‘三线合一” 新课引入 思考 我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？ 即：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 如果，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系？ B C A 可以通过画一画、量一量得出自己的猜想 猜想：两个角相等的三角形是等腰三角形 新知学习 探究 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. B C A 可以用全等三角形证明 证明 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. 证明：作 AD⊥BC 于点 D， A B D C ∴∠ADB =∠ADC = 90°， 又∵∠B =∠C，AD = AD， ∴△ADB≌△ADC（AAS）， ∴AB = AC. 方法一：作底边上的高 在△ABD与△ACD中， ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）. ∴AB=AC. ∠BAD=∠CAD， ∠B=∠C， AD=AD， 证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D. 2 1 D A B C 方法二：作顶角的角平分线 定理: 有两个角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边） 归纳 简述为：等角对等边. 数学符号书写： 在△ABC中， ∵∠B=∠C（已知）， ∴AC=AB（等角对等边）. A B C 例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. A B C D E 证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA， ∴△ABD≌△DCA（SSS）. ∴∠ADB=∠DAC（全等三角形的对应角相等）. ∴AE=DE（等角对等边）. ∴△AED是等腰三角形. 想一想 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 探究 在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC. 小明是这样想的: 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时，AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C， 但已知条件是 ∠B≠∠C. “∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾， 因此AB≠AC. C B A 你能理解他的推理过程吗? 归纳 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法． 例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证： ∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A和∠B是 直角，即 ∠A= 90°，∠B = 90°. 于是 ∠A＋∠B＋∠C = 90°＋ 90°＋ ∠C > 180°. 这与三角形内角和定理相矛盾， 因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 归纳 用反证法证题的一般步骤： 1.假设: 先假设命题的结论不成立； 2.归谬: 从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义， 公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果； 3 .结论: 由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 1.用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设（　　） A．三角形的三个外角都是锐角 B．三角形的三个外角中至少有两个锐角 C．三角形的三个外角中没有锐角 D．三角形的三个外角中至少有一个锐角 B 课堂练习 2.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时， 首先应假设这个三角形中（　　） A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60° A 3．如图，P是△ABC的BC边上的一点，且BP＝PA＝AC＝PC，则∠B的度数为(　　) A．20° B．30° C．40° D．50° B A B C D 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D. 求证：AD＝BC. 证明：∵AB＝AC，∠A＝36° ∴∠ABC =∠C=72° 又∵BD平分∠ABC交AC于点D. ∴∠