1.1.2等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质课件2023-2024学年北师大版数学八年级下册

1.1.2 等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质 1. 掌握等腰三角形一些特殊线段的性质. 2. 掌握等边三角形的性质. 学习目标 难点 重点 上节课我们证明了等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. (三线合一) 那等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？ 新课引入 B C A D B C D A E 如图，在△ABC中，AB=AC，BD，EC分别为∠ABC和∠ACB的角平分线.BD和EC相等吗？可以证明吗？ 经过测量，我们发现BD=EC. 如何证明呢？ 由此猜想：等腰三角形底角的两条角平分线相等； 新知学习 例1 证明:等腰三角形两底角的角平分线相等． 如图，在△ABC中，AB=AC，BD，EC分别为 ∠ABC和∠ACB的角平分线. 求证：BD=EC. B C D A E 证明 B C D A E 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）. ∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB， ∴∠1=∠2. 在△BDC和△CEB中， ∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）. 1 2 还有别的证明方法吗？ B C D A E 3 4 证法二：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB， ∴∠3=∠4. 在△ABD和△ACE中， ∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A， ∴△ABD≌△ACE（ ASA ）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）. 思考 刚才，我们用2种方法证明了等腰三角形中两底角的角平分线相等. 请同学们猜想一下：两腰上的中线、高是否分别相等呢？请你 证明它们. 猜想1：等腰三角形的两腰上的中线相等 猜想2:等腰三角形的两腰上的高相等： 例2 证明: 等腰三角形两腰上的高相等. B C D A E 已知：如图3，在△ABC中， AB=AC， BD，CE是△ABC的高. 求证：BD=CE. 证明 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC=∠CEB=90°. 在△BDC和△CEB中， ∵∠BDC=∠CEB，BC=CB，∠ABC=∠ACB， ∴△BDC≌△CEB（ AAS ）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）. B C D A E 例3 证明：等腰三角形两腰上的中线相等. B C D A E 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD，CE是△ABC的中线． 求证：BD=CE. 证明 B C D A E 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵BD，CE是△ABC的中线， ∴CD= AC， BE= AB ，即CD=BE. 在△BDC和△CEB中， ∵BC=CB，∠ABC=∠ACB ， CD=BE， ∴△BDC≌△CEB（ SAS ）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）. 思考 刚刚我们证明了等腰三角形中底角的角平分线、腰上的中线和高分别相等了. 如果是底角的三等分线段呢，相等吗？ 同样，腰上的中线的三等分线段、腰上的高的三等分线段呢，相等吗？ 探究 如图，在△ABC中，AB =AC，点D，E分别在AC和AB上. 如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？ 如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢？ B C D A E 由此你能得到一个什么结论？ 请同学们用已经学过的定理和基本事实来证明你的猜想. 证明：在△ABC中，AB =AC， ∴∠ABC=ACB ∵∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB ∴∠ABD=∠ACE 在△ABD和△ACE中 ∠ABD=∠ACE，AB =AC，∠A=∠A ∴△ABD≌△ACE（ASA ） ∴BD=CE B C D A E 证明 归纳 在△ABC中，如果AB =AC，∠ABD= ∠ABC， ∠ACE= ∠ACB，那