17.1.3勾股定理的应用课件2023—-2024学年人教版数学八年级下册

17.1.3 勾股定理的应用2 1. 会运用勾股定理在数轴上表示无理数. 2. 会运用勾股定理求最短路径问题. 学习目标 重点 难点 重点 难点 新课引入 你能借助勾股定理画出表示的线段长吗？ 画一个等腰直角三角形，令直角边长为1，则斜边长为. 1 1 你能在数轴上画出表示的点吗？ 新知学习 一 利用勾股定理在数轴上表示无理数 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在 数轴上画出表示的点吗？ 分析：如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点. 容易知道，长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边. 试着在数轴上画出表示的点. O 1 2 3 B A l 如图， ①在数轴上找出表示1的点A,则OA=1， ②过点A作直线 l 垂直于OA，在 l 上取点B，使AB=1， ③以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点 思考 长为的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗? 利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边长为．由此,可以依照上面方法在数轴上画出表示的点. O 1 2 3 B A l 如图， ①在数轴上找出表示3的点A,则OA=3， ②过点A作直线 l 垂直于OA，在 l 上取点B，使AB=2， ③以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点 类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段(如图).按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，…的点(如图). 例1 如图所示，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径. 一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程. (精确到0.01cm) A B C D 二 利用勾股定理求最短路径问题 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动，如果将这半个侧面展开，得到长方形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图——长方形ABCD的对角线AC之长. A C B D A B C D 解：如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm. 由勾股定理，可得 答:爬行的最短路程约为10.77cm. A C B D 例2 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到0.01cm) A B 分析：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题. A B 10 10 10 B C A 解：最短路程即为长方形的对角线AB, 答：爬行的最短路程约是22.36cm. 10 10 10 B C A 变式 如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面由A爬到C1需要爬行的最短路程又是多少呢？ A B C D B1 C1 D1 A1 (1)经过前面和上底面; 蚂蚁由A爬到C1过程中较短的路线有多少种情况？ 2 3 A 1 B B1 C1 D1 A1 (2)经过前面和右面; (3)经过左面和上底面. 3 2 1 A B C B1 C1 A1 3 2 1 A D D1 A1 B1 C1 解：(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为 2 3 A 1 B B1 C1 D1 A1 A B C D B1 C1 D1 A1 (2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为 A B C D B1 C1 D1 A1 3 2 1 A B C B1 C1 A1 (3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为 A B C D B1 C1 D1 A1 3 2 1 A D D1 A1 B1 C1 ∴最短路程约为4.24cm. ∵4.24＜4.47＜5.10， 解决几何体表面上两点之间最短路线问题的关键是把立体图形转化为平面图形，具体步骤为： 1、把立体图形展开成平面图形； 2、确定最短路线； 3、确定直角三角形； 4、根据直角三角形的边长，利用勾股定理求解. 归纳 随堂练习 1.在数轴上画出表示的点. O 1 2 3 B A l 如图， ①在数轴上找出表示3的点A,则OA=3， ②过点A作直线 l 垂直于OA，在 l 上取点B，使AB=1， ③以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点 2.如图是一个没有盖的圆柱形罐头盒，盒高6 cm，盒底周长为18 cm，盒外一只蚂蚁在底部的A处，想吃到盒内对侧B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 分析：将圆柱体的侧面展开，圆柱体侧面上两点间的最短路线长就转化为平面上两点之间的距离．作出最短距离，从而结合“勾股定理”求得最短路程． 解：如图，将圆柱体侧面展开为矩形， 则蚂蚁的爬行