决胜2024年高考数学专项特训：压轴题

决胜2024年高考数学专项特训:压轴题 1．已知函数，． (1)求的极值； (2)证明：当时，．（参考数据：） 2．已知函数. (1)是的导函数，求的最小值； (2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 3．已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求的值： (2)求在上的最值； (3)证明：当时，. 4．已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若实数满足且，证明：. 5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 6．已知函数，. (1)当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间及在区间上的最值； (2)若对，恒成立，求a的取值范围. 7．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．    (1)求抛物线的表达式和的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值． 8．已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质． (1)当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由； (2)当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 9．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线上的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程.其中原点O为的中点，例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为.其中.    (1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程； (2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标； (3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点，若求a的值； (4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把点C称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l与y轴交于点，E为线段的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当时，求出的面积值. 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4． (1)求双曲线的标准方程； (2)A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且． ①证明：直线过定点； ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值． 11．设圆O的弦的中点为M，过点M任作两弦，弦与分别交于点E，F.      (1)试用解析几何的方法证明：M为的中点； (2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？ 12．定义在R上的函数满足：①对，，当时，总有；②对，． (1)求； (2)若对任意，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数k的取值范围． 13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果对任意，都存在，使得，则称X具有性质P． (1)若，且集合具有性质P，求x的值； (2)若X具有性质P，求证：；且若成立，则； (3)若X具有性质P，且，求数列的通项公式． 14．已知，是的导函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)设，与x轴负半轴的交点为点P，在点P处的切线方程为． ①求证：对于任意的实数x，都有； ②若关于x的方程有两个实数根，且，证明：． 15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点． (1)求曲线K的方程； (2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值； (3)若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值． 16．已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点． (3)如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．    17．已知函数（为常数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (