决胜2024年高考数学专项特训：空间向量与立体几何（解答题篇）

决胜2024年高考数学专项特训:空间向量与立体几何（解答题篇） 1．如图，在三棱柱 中，平面 是等边三角形，且为棱的中点. (1)证明：； (2)若 ，求平面 与平面所成锐二面角的余弦值. 2．如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 3．如图，且且且平面． (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)若点在线段上，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离． 4．如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上. (1)求证：； (2)若平面，求的值； (3)在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值. 5．如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 6．如图,在直三棱柱中,是棱的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值． 7．如图（1）五边形中，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且⊥平面. (1)求证：； (2)若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 8．如图，矩形中为边的中点，将沿直线翻折成，使，若为线段的中点， (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 (3)求二面角夹角的正弦值 9．如图，在四棱柱中，四边形是平行四边形，，，，，为的中点，且． (1)过点作四棱柱的截面使其与面垂直，并予以证明； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积． 10．如图，在四棱锥中，，，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 11．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点. (1)求证：平面； (2)求的重心到平面的距离. 12．如图所示，四棱锥中，底面是矩形，底面，，，点F是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)当为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)求证：无论点在边的何处，都有． 13．如图，在四棱锥中，平面，点是的重心.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 14．如图，在三棱锥中，平面平面，且，,E为棱的中点，F为棱上的点．    (1)证明：； (2)当面积最小时，求直线与平面所成角的正弦值． 15．如图，平面，，，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点E到平面的距离为，求三棱锥的体积. 16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，． (1)求证：平面平面； (2)直线上是否存在点，使得直线与平面所成角为若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 17．在四面体中，各棱长均相等，、分别是、的中点，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)求异面直线和所成角的大小． 18．已知四棱锥如图所示，平面平面，四边形为菱形，为等边三角形，直线与平面所成角的正切值为1． (1)求证：； (2)若点M在线段AD上靠近A的四等分点，求平面与平面夹角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）证明：由三棱柱的性质可知． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为为的中点，且是等边三角形，所以． 因为平面，且， 所以平面． （2）解：取的中点，连接．由题意可得两两垂直，故以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， 故． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，交于，连结，推导出，由此能证明平面； （2）设，以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：连结，交于，连结， 正三棱柱中，为的中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面． （2）设，以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则,0,，,2,，,1,，,2,， ,,，,,，,0,， 设平面的法向量,,， 则，取，得,,， 设直线与平面所成角为， 则． 直线与平面所成角的正弦值为． 3．(1)证明见解析； (2)； (3)； 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法分别求解即得. 【详解】（1）由平面，，得直线两