决胜2024年高考数学专项特训：计数原理与概率统计（解答题篇）

决胜2024年高考数学专项特训:计数原理与概率统计（解答题篇） 1．镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示. (1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数； (2)现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这 10 颗板栗中随机抽取 4 颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为 X，求 X 的分布列与数学期望. 2．杭州第19届亚运会，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，标志着我国体育运动又有了新的突破.某大学从全校学生中随机抽取了130名学生，对其日常参加体育运动情况做了调查，其中是否经常参加体育运动的数据统计如下： 经常参加 不经常参加 男生 60 20 女生 40 10 (1)利用频率估计概率，现从全校女生中随机抽取5人，求其中恰有2人不经常参加体育运动的概率； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否经常参加体育运动与性别有关联. 参考公式：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3．某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为17，女生样本的均值为160，方差为30． (1)根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？ (2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吧？ 4．一个问题，甲正确解答的概率为，乙正确解答的概率为.记事件甲正确解答，事件乙正确解答.假设事件与相互独立. (1)求恰有一人正确解答问题的概率； (2)某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下： 解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”， 所以随机事件“问题被正确解答”可以表示为. 所以. 请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答过程. 5．某学校为了学习、贯彻党的二十大精神，组织了“二十大精神”知识比赛，甲、乙两位教师进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲、乙答对的概率分别为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望； (2)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率． 6．为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表： 运动鞋款式 A B C D E 回访顾客（人数） 700 350 300 250 400 满意度 注： 1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值； 2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率． (1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率； (2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望； (3)用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明） 7．某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口. (1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由. (2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差. 8．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名