决胜2024年高考数学专项特训：函数与导数（解答题篇）

决胜2024年高考数学专项特训:函数与导数（解答题篇） 1．某食品厂引进一条先进生产线生产某种奶类制品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最大为300吨. (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 2．汉服文化是反映儒家礼典服制的文化总和，通过祭服、朝服、公服、常服以及配饰体现出来．汉服文化从三皇五帝延续（清代被迫中断），通过连绵不断的继承完善着自己，是一个非常成熟并自成体系的千年文化．在当代，汉服文化正在通过汉服运动这一民间文化运动形式逐渐复兴．近年来，盛行汉服沉浸式体验，人们喜欢身着汉服在充满传统文化特色的古镇游览拍照．近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量H（件）与日租赁价格S（元/件）都是时间t（天）的函数，其中（），．每件汉服的综合成本为10元． (1)写出该店日租赁利润W与时间t之间的函数关系； (2)求该店日租赁利润W的最大值．（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本） 3．某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中为正常数，已知在前消除了的污染物． (1)后还剩百分之几的污染物？ (2)要使污染物减少三分之一以上至少需要多少时间？（结果精确到） （参考数据） 4．古人云：“北人参，南三七”，三七又被誉为“南国神草”，文山是三七的主产地，是“中国三七之乡”．通过对文山某三七店铺某月（30天）每天销售袋装三七粉的调查发现：每袋的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：袋）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 5 10 15 20 25 30 50 55 60 65 60 55 (1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设袋装三七粉在该月的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 5．某县茶叶种植历史悠久，品种繁多，自古为“贡茶之乡”．其中“雪芽绿茶”以其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐．经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感．经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足． (1)求常数的值； (2)经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：） 6．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在不相等的实数，，使得，证明：． 7．已知函数，， (1)求函数的定义域，并证明在内的单调性； (2)设，对任意的，都存在，使得成立，求m的取值范围． 8．已知函数，是奇函数． (1)求实数a的值； (2)当时，求的值域． 9．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦：.（是自然对数的底数，） (1)解方程：； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，关于的方程有解，求实数取值范围. 10．已知函数对任意的实数都有，且当时，有恒成立. (1)求证：函数在上为增函数. (2)若，对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 11．已知函数. (1)写出一个奇函数和一个偶函数，使； (2)对（1）中的.命题：函数在区间上是增函数；命题：函数是减函数；如果命题、有且仅有一个是真命题，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的取值范围. 12．设函数． (1)当时，求的值； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； (3)当时，的最小值为3，求m的值． 13．已知函数. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若函数为奇函数，求实数的值； (3)在（2）的条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 14．已知函数有两个极值点为，. (1)当时，求的值； (2)若（为自然对数的底数），求的最大值. 15．已知函数，的导函数为. (1)当时，解不等式； (2)判断的零点个数； (3)证明：. 16．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值并利用定义证明函数的单调性； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．已知函数是上的奇函数． (1)求的值； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 18．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称