14.2乘法公式－完全平方公式考点训练　课件　2023—2024学年人教版数学八年级上册

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2乘法公式 完全平方公式考点训练 1 【2023·长沙】下列计算正确的是(　　) A．a7÷a5＝a2 B．5a－4a＝1 C．3a2·2a3＝6a6 D．(a－b)2＝a2－b2 2 【点拨】 a7÷a5＝a2，A正确；5a－4a＝a，B错误；3a2·2a3＝6a5，C错误；(a－b)2＝a2－2ab＋b2，D错误．故选A. 【答案】A 【2023·兰州】计算：(x＋2y)2＝(　　) A．x2＋4xy＋4y2 B．x2＋2xy＋4y2 C．x2＋4xy＋2y2 D．x2＋4y2 2 【点拨】 利用整体思想，将2y看作一个整体，再利用完全平方公式，最后化简即可． 【答案】A 如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是(　　) A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D．(ab)2＝a2b2 3 【点拨】 根据题意，大正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，由1个边长为a的正方形，2个长为a，宽为b的长方形和1个边长为b的正方形组成，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 【答案】A 若m＋n＝10，mn＝5，则m2＋n2的值为________． 4 【点拨】 要熟练掌握完全平方公式，即(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，将mn＝5，m＋n＝10代入即可得解． 90 5 (2)2992；     (3)1012＋992－98×102. 解：原式＝(300－1)2＝3002－2×300×1＋12　 ＝90 000－600＋1＝89 401. 原式＝(100＋1)2＋(100－1)2－(100－2)(100＋2) ＝1002＋200＋1＋1002－200＋1－(1002－4) ＝1002＋6＝10 006. 【点方法】 利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式： 一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千的数与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真分数的和或差． 6 12 解：x(x＋2)＋(x＋1)2 ＝x2＋2x＋x2＋2x＋1 ＝2x2＋4x＋1， ∵x2＋2x－2＝0，∴x2＋2x＝2， ∴原式＝2(x2＋2x)＋1＝2×2＋1＝4＋1＝5. (2)已知x2＋2x－2＝0，求代数式x(x＋2)＋(x＋1)2的值． 7 (1)请你检验这个等式的正确性； (2)若a＝2 022，b＝2 023，c＝2 024，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？试求出这个值． 已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝(　　) A．24　 B．48　 C．12　 D．以上都不正确 8 【点拨】 易忽视ab项的系数为2，导致错选A. 【答案】A 9 (2)若x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝0，求x＋2y的值； 解：原等式可化简为(x－y)2＋(y＋1)2＝0， ∴x－y＝0，y＋1＝0， ∴y＝－1，x＝－1. ∴x＋2y＝－1＋2×(－1)＝－3. (3)试说明：不论x，y取什么值，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数； 解：x2＋y2－2x＋2y＋3 ＝x2－2x＋1＋y2＋2y＋1＋1＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1. ∵(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0， ∴(x－1)2＋(y＋1)2＋1的最小值为1. ∴不论x，y取什么值，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数． (4)已知a，b，c是不等边三角形ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且c是三角形ABC的最大边长，求c的取值范围． 解：∵a2＋b2＝10a＋8b－41， ∴a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0. ∴(a－5)2＋(b－4)2＝0. ∴a－5＝0，b－4＝0. ∴a＝5，b＝4. 又∵三角形ABC为不等边三角形且c是最大边长， ∴c的取值范围为5＜c＜9. 发现　两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 验证　如，(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和； 10 解：10的一半为5，5＝1＋4＝12＋22. 探究　设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 解： (m＋n)2＋(m－n)2 ＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2 ＝2m2＋2n2＝2(m2＋n2)． 故两个已知正整数m，n的和与其差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 11 图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个相同的小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形