专题9.32 三角形的中位线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.32 三角形的中位线（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】三角形的中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 特别提醒： 1. 三角形有三条中位线. 2. 不要把三角形的中位线与三角形的中线混淆，应从它们的定义加以区别. 【知识点二】三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 特别提醒： 三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的四分之一. 【考点目录】 【考点1】三角形中位线的理解； 【考点2】利用三角形的中位线定理证明与求值； 【考点3】利用三角形的中位线与直角三角形斜边上中线性质求值或证明； 【考点4】三角形的中位线定理综合应用； 【考点5】三角形的中位线定理拓展与应用； 【考点1】三角形的中位线定理实际应用. 【例1】如图，在四边形中，M，N分别是AD，BC的中点．若，求MN长度的取值范围． 【答案】 解：如图，连接，取的中点，连接PM，PN． 是的中点，是的中位线，． 同理可得． 在中，，． 【变式1】如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（    ） ①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，根据由三角形中位线定理逐一判断①②⑤；由，，易得四边形是平行四边形，可判断③④． 解：如图，连接， 是的中线， 点D是的中点， 、分别是、边上的中点， ，故①②⑤正确； ，， 四边形是平行四边形， 和互相平分；故③④正确； 则正确的有5个， 故选：D． 【变式2】如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．利用三角形的中位线得到，进而求得即可求解． 解：∵在中，点D、E分别是、的中点，， ∴，即， ∵以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【考点2】利用三角形的中位线定理求值或证明； 【例2】如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，． （1）求证：； （2）写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）写出x为何值时，？ 【答案】（1）见详解;（2），;（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明是关键． （1）取的中点记为，取的中点记为．根据三角形中位线的性质可得，根据余角的性质可得，根据可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域； （3）连接，根据三角形中位线的性质可得x为1时，． （1）解：取的中点记为H，取的中点记为N．连接 ∵，点D是边的中点， ∴都是三角形中位线 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ 即 ∵E是边上的一个动点（不与A、B重合）， ∴； （3）解：连接，当E与H重合时，， ∵此时， ∴当时，． 【变式1】如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三线合一性质，勾股定理，取的中点F，连结，计算即可． 解：如图，取的中点F，连结， ∵是的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，． 由勾股定理，得． ∵BE平分，， ∴， ∴， ∴．根据等腰三角形“三线合一”，得． ∵， ∴ ∴E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵的中点F， ∴， ∴． 故选D． 【变式2】如图，矩形中，，.F是上一点，将沿所在的直线折叠，点A恰好落在边上的点E处，连接交于点G，取的中点H，连接，则 . 【答案】 【分析】本题考查图形的折叠，熟练掌握翻折的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质是解题的关键．由折叠可知，垂直平分，连接，可得是的中位线，求出即可求． 解：由折叠可知，垂直平分，连接， 是的中点， 是的中点， ， ，， ， ， 故答案为：． 【考点3】利用三角形的中位线与直角三角形斜边上中线性质求值或证明 【例3】如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点，若，．   （1）求证：为的角平分线； （2）求的长． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论． （2）根据三角形中位线定理