预习18讲 复数的乘、除运算（精讲+精练）-2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019必修第二册）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册） 预习18讲 复数的乘、除运算（精讲+精练） ①复数的乘法运算 ②复数的除法运算 ③虚数单位i的幂的周期性及其应用 ④实系数一元二次方程 一、复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数乘法满足的运算律 复数乘法的交换律、结合律、分配律 (交换律) (结合律) (分配律) 二、复数代数形式的乘方 （1）复数的乘方 复数的乘方就是相同复数的乘积 （2）复数乘方的运算律 根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有： ① ② ③ 三、共轭复数的性质 设，（） ① ②为实数 ③且为纯虚数 ④ ⑤，， 四、复数代数形式的除法运算 （1）定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 题型一：复数的乘法运算 策略方法 (1)复数乘法的一般方法 首先按多项式的乘法展开,再将i2换成-1,然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R); ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R); ③(1±i)2=±2i. 【题型精练】 一、单选题 1．（    ） A．5 B． C．1 D．7 2．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 4．若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 二、填空题 5．的虚部为 ． 6．设复数满足，则的实部为 ． 7．已知复数(为虚数单位)，则的模等于 . 8．已知，是虚数单位，若，，则 ． 三、解答题 9．计算: (1) (2) 10．已知复数为虚数单位. (1)求； (2)求 . 题型二：复数的除法运算 策略方法 (1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似. (2)常用公式 ①=-i;②=i;③=-i. 【题型精练】 一、单选题 1．复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 3．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 二、填空题 5．若复数（i为虚数单位）,则的模为 ． 6．已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则 ． 7．已知，复数（i是虚数单位），若，则 ， . 三、解答题 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．已知复数.求 (1)； (2). 10．已知复数为虚数单位． (1)求； (2)若，求的共轭复数． 11．已知复数是纯虚数（i为虚数单位，为实数）． (1)求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 题型三：虚数单位i的幂的周期性及其应用 策略方法 要熟记in的取值的周期性,即=i,=-1,=-i,=1(n∈N),解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值. 【题型精练】 一、单选题 1．已知复数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知复数z满足，则（    ） A．i B． C． D．1 二、填空题 4．= . 5．已知是虚数单位，若复数满足，则 ． 6．为虚数单位，则 ． 三、解答题 7．计算：． 8．计算（其中）： (1)； (2)． 题型四：实系数一元二次方程 策略方法 在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法 (1)利用求根公式求解. (2)利用复数相等的定义求解. 【题型精练】 一、单选题 1．在复数范围内方程的根为（    ） A．和1 B．和5 C． D． 2．若复数为方程(，)的一个根，则该方程的另一个复数根是（    ） A． B． C． D． 3．设虚数和是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若复数满足，则 ． 5．已知关于的方程的一个虚根为