3.1.2椭圆中焦点三角形的周长专题- 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2 椭圆中焦点三角形的周长 姓名 班级 【问题】已知椭圆过点，，解决下列问题： (1) 求椭圆的方程并作出椭圆的草图； (2) 若椭圆上一点P与焦点的距离等于6，求点P与另一个焦点的距离及△的周长； (3) 若点P为椭圆上的动点，点P在运动中，△的周长是否发生变化，为什么？ 【椭圆中焦点三角形的周长】 1．定义：椭圆上的点P(不在x轴上)与两焦点，构成的△称为焦点三角形. 2．解题技巧：一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，， 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的周长、面积及角的有关问题. 不排除秒杀结论. 3. 常用性质： 【热身】椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上异于左右顶点的任意一点，，的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则△的周长是 . 【典例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线l与椭圆交于A，B两点，则△的周长是 . 思考：第一步你应该做什么？ 练习 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，若△的周长为16，则 思考：第一步你应该做什么？ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【变式】已知，是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，在△中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 . 思考：第一步你应该做什么？ 【典例2】直线与椭圆交于A，B两点，则A，B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为( ) A. 10 B. 16 C. 20 D. 不能确定 思考：第一步你应该做什么？ 【典例3】椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆交于A，B两点，解决问题： (1) 求； (2) 求△周长的最小值. 思考1：第一步你应该做什么？ 思考2：你能从典例2中找到解题的灵感吗？ 【变式】若为椭圆的右焦点，A，B为椭圆C上两动点，则△周长的最大值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 不能确定 解题感悟：①椭圆的焦点是同时出现的，“形单影只”只会让你的解题思路陷入绝境，要想“绝处逢生”，两个焦点必不可少，②椭圆的定义是本质与核心，切记“勿忘初心”. 学科网（北京）股份有限公司 $$