数列的单调性讲义-2024届高三数学二轮专题复习

数列的单调性 所谓数列，由前面的基础知识可知，实则就是函数图像上一个个孤立的点，而单调性作为函数最重要的性质之一，自然而然的单调性也是数列的一个基本性质之一.本节就数列的单调性问题进行相关总结. 1、 研究数列单调性的基本方法 1、 作差法： 例1、已知数列{}满足，证明：数列{}单调递减. 证明：∵ . 则恒成立 故数列{}单调递减 2、 作商法： 例2、已知，证明：数列{}先递增后递减. 证明：令 即 整理得：，得n 同理，令 即 整理得：，得n 从第1项到第9项递增，从第10项开始递减，得证. 3、 函数法(导数法) 例4、记为等差数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求，并求的最小值. 解：（1）略（） （2） 方法一：我们可以借助一个二次函数函数，很明显这个函数在上单调递减，在上单调递增，那么可以得到最小值，从而的最小值为. 方法二：由于数列的通项公式，可以借助函数.在，；在，，所以数列的前4项均为负数，故而的最小值为. 变式:（1）如果一个数列的前项和为，那么求取得最小值时序号是多少？很显然，或.(取得最值时为n4.5，但n只能取整数) （2）在（1）的前提下，求取得最小值时序号是多少？ 可以借助函数，求导.在单调递减，在上单调递增，从而.故而取得最小值时序号是 例5、已知单调递增数列的通项公式求的取值范围. 解：这一个题我们很容易想到这样题目： 设在上是的一个增函数，且 求的取值范围. 只需要，可以求得的范围是. 对于数列就有一点问题，因为数列在直角坐标系所对应的点是不连续的 限制条件应该为，即，求得的范围是. 变式：（1）设函数f(x)，若数列是递减数列，求实数的取值范围. 由题意即可，可得的取值范围. （2）已知数列中，.对任意的，都有成立，求的取值范围. 由题意，可借助函数 在，单调递减 再结合数列的离散性特点，可得限制条件，得到的范围为. 总结：我们在利用函数与数列共性来解题时，还要注意数列的特殊性（离散性），它的图像是一系列孤立的点，而不像我们研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解题中应该充分利用这一特殊性.在研究数列单调性时，只要这些点每个比它的前一个点高（即），则图象呈上升趋势；反之，呈下降趋势. 2、 课后练习 1、 已知，则数列的最大值为：_______. 2、已知f(x)数列，且是递增数列，则的取值范围为：_________. 1、解：令f(x) 则f’(x) 当x时，，，f’(x) 在[3，)内，f(x)单调递减 所以当时，单调递减 即是递减数列 又∵，所以. 2、解：由题意得：解得a 学科网（北京）股份有限公司 $$