（新课衔接）专题06 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方-2023-2024学年七年级数学下学期寒假学习精讲练（苏科版）

2023-2024学年苏科版数学七年级寒假学习精讲练讲义 专题06 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方 1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）； 2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 知识点01：同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 知识要点：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 知识点02：幂的乘方法则 (其中都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 知识要点：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 知识点03：积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 知识要点：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 知识点04：注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 知识点01：同底数幂的乘法 【典例讲解】（2023秋•公主岭市期末）计算x2•x3的结果正确的是（　　） A．x5 B．x6 C．x8 D．5 【思路点拨】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可． 【完整解答】解：x2•x3＝x2+3＝x5． 故选：A． 【考点剖析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 【变式训练1-1】（2023秋•石河子校级期末）若xn＝18，xm＝3，则xm+n的值是 　 ． 【变式训练1-2】（2023秋•望城区期末）规定a*b＝2a×2b，求： （1）求1*3； （2）若2*（2x+1）＝64，求x的值． 【变式训练1-3】（2023秋•南岗区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　； （5，1）＝　 　； （3，27）＝　 　． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 知识点02：幂的乘方与积的乘方 【典例讲解】（2023秋•浦东新区期末）下列计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x5 B．x3+x3＝2x6 C．﹣（﹣3x）3＝﹣27x3 D．（xy3）2＝xy6 【思路点拨】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； B．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可； C、D选项均根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可． 【完整解答】解：A．∵x2•x3＝x5，∴此选项符合题意； B．∵x3+x3＝2x3，∴此选项不符合题意； C．∵﹣（﹣3x）3＝﹣（﹣27x3）＝27x3，∴此选项不符合题意； D．∵（xy3）2＝x2y6，∴此选项不符合题意； 故选：A． 【考点剖析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘法法则． 【变式训练2-1】（2023春•通川区校级期末）若ax＝3，则a3x＝　 　；若3m＝5，3n＝2，则3m+2n＝　 　． 【变式训练2-3】（2023春•仪征市期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问