第17章勾股定理单元难点突破 2023—2024学年人教版数学八年级下册

勾股定理单元难点突破 题型一：立体图形中的最短路径问题 例：如图1，长方体的长为12cm，宽为6cm，高为5cm，一只蚂蚁沿侧面从点向点爬行，问：爬到点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？ 解析：(1)当蚂蚁首先沿朝向我们的这个面爬行时，下一步有可能沿上底面爬行，也有可能沿右侧面爬行．把上底面(或右侧面)展开，如图，此时，最短距离只可能是线段AB的长．由勾股定理得AB＝，或AB＝． 　　经比较知，此时最短路程为cm． 　　(2)当蚂蚁首先沿下底面爬行时，下一步又有两种可能，即沿最里面的面或沿右侧面． 　　如图，得AB＝， 　　或AB＝． 　　经比较知，此时最短路程为cm． 　　(3)当蚂蚁首先沿左侧面爬行时，下一步依然有两种可能，即沿最里面的面或沿上底面． 　　如图，得AB＝， 　　或AB＝． 　　经比较知，此时最短路程为cm． 　　综上可知，蚂蚁最少爬了cm． 例：如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫? 解析： 把这个油罐看成一个圆柱体，再画出它的侧面展开图（是一个长方形）如下图所示： 因为A、B两点间线段最短，所以壁虎至少要爬行线段AB这段路程，才能捕捉到害虫．由题意，得 AC=4π，在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=（2π×2）2+42≈173.8， ∴AB=13.2米． ∴壁虎至少要爬行13.2米才能捕到害虫 例：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ A B 5 3 1 解析：将台阶展开，如下图， ∵AC=3×3+1×3=12，BC=5， ∴AB2=AC2+BC2=169，所以AB=13（cm）， 所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm． 答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm 【变式训练】 1.如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程． 2. 如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号) 3.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬(　　) A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm 题型二：折叠问题（构造单勾列方程） 例：如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，求的长． 解析： 解：∵矩形ABCD， ∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC， 由折叠可得∠AFE=∠D=90°，AF=AD=AB，DE=EF， ∵CE=6cm，AB=DC=16cm， ∴EF=DE=DC-CE=10cm， 在Rt△EFC中，根据勾股定理得：FC=8cm， 设AD=BC=AF=x，则有BF=BC-FC=（x-8）cm， 在Rt△ABF中，根据勾股定理得：162+（x-8）2=x2， 解得：x=20，即x-8=20-8=12， 则BF=12cm． 例：如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．【来源：21·世纪·教育·网】 解析： 解：由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3. ∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称， ∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED. 设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x. 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5. ∴DE＝5.∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10. 【变式训练】 1.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG. (1)求证：△ABG≌△AFG； (2)求BG的长． 2.如图,将长方形ABCD沿AC折叠,使△ABC落在△AEC的位置,且CE与AD相交于点F. (1)求证:EF=DF; (2)若AB=,BC=3,求折叠后的重叠部分(阴影部分)的面积. 3.已知，如图，折叠矩形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB