5.4.3 三角函数的图象与性质课件课时3-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4三角函数的图象与性质 第3课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 第五章 三角函数 探究一：正弦、余弦函数的单调性 分析如图所示的正弦曲线和余弦曲线及其对称轴，回答下列问题： 情境设置 问题：根据函数单调性的定义，描述正弦函数在区间内的单调性. 【解析】： 正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 2 新知生成 知识点一 正弦函数、余弦函数的单调性 正弦函数 余弦函数 图象 单调性 在______________________ 上单调递增， 在_____________________ 上单调递减 在_______________________ 上单调递增， 在_______________________ 上单调递减 ,</m> <m>, 思考：正弦、余弦函数在定义域上是单调函数，正弦函数在第一象限是增函数，这些说法对吗? 3 一、求正弦、余弦函数的单调区间 例题1 求函数的单调区间． 【解析】令 ，则 . 是增函数， 当 单调递增（减）时，函数 也单调递增（减）． 由 ，得 ， 即 ， 故函数 的单调递增区间为 ． 同理可求函数 的单调递减区间为 ． 4 反思感悟 方法总结 求正弦、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“𝜔𝑥+𝜑”看作一个整体“𝑧”，即通过求𝑦=𝐴sin𝑧的单调区间从而求出原函数的单调区间.求形如𝑦=𝐴cos(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0)的函数的单调区间同上． 5 新知运用 跟踪训练1 求函数的单调递减区间. 【解析】函数， 当原函数递减时， 得 ， 得 ， 所以原函数的单调递减区间是 ． 6 二、比较三角函数值的大小 例题2 比较下列各组中函数值的大小. (1) 与； (2) 与; (3) 与. 【解析】(1) ， ， ， ，即 ． (2) , ， ， ， ． (3) ， ， ， ， ，即 ． 7 反思感悟 方法总结 比较三角函数值大小的步骤: (1)异名函数化为同名函数. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小. 8 新知运用 跟踪训练2 求下列函数的单调递增区间. (1) ； (2) ， 【解析】(1) 由 ，得 ,所以函数 的单调递增区间为 ． (2)因为 ，所以函数 的单调递增区间就是函数 的单调递减区间，由 ， ，得 ， ．因为 ，所以所求函数的单调递增区间为 ． 9 探究二：正弦、余弦函数的最值 分析如图所示的正弦曲线和余弦曲线及其对称轴，回答下列问题： 情境设置 问题：观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在，其最大值和最小值分别为多少? 【解析】：正弦、余弦函数存在最大值和最小值，最大值和最小值分别是1和 −1. 10 新知生成 知识点二 正弦、余弦函数的最值 正弦函数 余弦函数 图象 值域 _________ _________ 最值 _______________时， ； _______________时，. ______________时， ； ______________时， . ，</m> ，</m> <m>， <m>， 11 三、正弦、余弦函数的最值 例题3 求下列函数的最值. (1) ； (2). 【解析】(1)因为 ， 所以当 时， ； 当 时， ． (2) ． 因为 ， 所以当 时，函数取得最大值， ； 当 时，函数取得最小值， ． 12 反思感悟 方法总结 三角函数最值问题的求解方法： (1)形如(或)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对正负的讨论. (2)形如(或)型，可先由定义域求得 的范围，然后求得(或 <m>)的范围，最后求得最值. (3)形如型，可利用换元思想，设 ，转化为二次函数求最值，的范围需要根据定义域来确定. 13 新知运用 跟踪训练3 求下列函数的值域. (1)函数 的值域是_______； (2) 函数 ， 的值域是________. 【解析】(1) 因为 ，所以 ，故 ，从而 ，所以 ，即值域是. (2) 令 ，由于 ，故 ， ， 当