5.4.2三角函数的图象与性质课件课时2-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4三角函数的图象与性质 第2课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 第五章 三角函数 探究一：正弦函数的图象 自然界中存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动、弹簧振动和圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知，角的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性. 情境设置 问题1：观察正弦函数图象可知，在图象上，横坐标每相隔个单位长度，图象就会重复出现，且满足，即，则正弦函数𝑦=sin𝑥的周期是否唯一?正弦函数𝑦=sin𝑥的周期有哪些? 【解析】：正弦函数𝑦=sin𝑥的周期不止一个. ±2π，±4π ，±6π， …都是正弦函数的周期.事实上，任何一个常数2𝑘π(𝑘∈𝐙且𝑘≠0)都是它的周期. 2 新知生成 知识点一 周期函数的概念 1.周期函数：一般地，设函数的定义域为，如果存在一个__________，使得对每一个都有，且________________，那么函数就叫做周期函数. _____________叫做这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作函数 𝑓(𝑥) 的_____________． 非零常数 非零 最小正周期 3 新知生成 知识点一 周期函数的概念 3.正弦函数、余弦函数的周期性 记，则由 ，得 对于每一个非零常数都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是_______函数，2𝑘π (𝑘∈𝐙 且 𝑘≠0)都是它们的周期，最小正周期都为 2π ． 周期 4 新知生成 知识点一 周期函数的概念 注意： 1.并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． 2.若𝑇是函数𝑓(𝑥)的一个周期，则𝑛𝑇(𝑛∈𝐙且𝑛≠0)也是函数𝑓(𝑥)的周期． 3.并非所有的周期函数都有最小正周期，如𝑓(𝑥)=𝐶(𝐶为常数， 𝑥∈𝐑)，所有的非零实数𝑇都是它的周期，不存在最小正周期． 5 新知生成 知识点二 正弦、余弦函数的奇偶性 函数 图象     定义域 周期 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 6 新知生成 知识点二 正弦、余弦函数的奇偶性 1.正弦函数 是奇函数，图象关于原点对称； 2. 余弦函数 是偶函数，图象关于轴对称． 注意:研究函数的性质应遵循“定义域优先” 的原则． 7 一、三角函数的周期性 例题1 求下列函数的最小正周期. (1) (2) 【解析】(1)(法一:定义法) ，函数 的最小正周期 ． (法二:公式法) ， .又 ，函数 的最小正周期 ． (2) (法一:定义法) ， ， 的最小正周期 ． (法二:图象法)函数 的图象如图所示． 由图象可知，函数的最小正周期 ． 8 反思感悟 方法总结 求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解. (2)公式法：对形如或是常数，，)的函数，可利用来求解. (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可. 9 新知运用 跟踪训练1 (1)函数 的最小正周期为( ). A. B. C. D. (2) 已知 ，则． 【解析】(1) 函数 的最小正周期 ． (2) 易知的最小正周期 ，则有 , 所以 . D 3 10 二、正弦、余弦函数的奇偶性 例题2 判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ． 【解析】(1) 函数应满足 ， 函数的定义域为 ，显然定义域不关于原点对称， 为非奇非偶函数． (2)由 得 ， 函数的定义域为 ，定义域关于原点对称. 当 时， ， ， 既是奇函数又是偶函数． 11 反思感悟 方法总结 判断函数奇偶性的方法: 定义域关于原点对称； 计算或，并判断奇偶性. 12 二、正弦、余弦函数的奇偶性 跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性： (1)； (2) ． 【解析】(1) 函数 的定义域为 ， ， ， 为奇函数． (2)函数 的定义域为 ， ， 为偶函数． 13 三、三角函数奇偶性与周期性的应用 例题3 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，求的值． 【解析】 的最小正周期是 ， ． 又 是 上的偶函数， ． 14 三、三角函数奇偶性与周期性的应用 变式 定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，求的值． 【解析】 的最小正周期是 ， ． 又 是 上的奇函数， ． 15 反思感悟 方法总结 1.解决三角函数