6.3.1 平面向量基本定理 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理 学习任务 01 了解平面向量基本定理及其意义（重点） 了解向量基底的含义.在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量（难点） 02 01 探索新知 探索新知 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力. 类似地，我们能否将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢? 探索新知 G F1 F2 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？ 在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的合成与分解拓展到向量中来，就会形成一个向量的基本定理. 答：G= F1 + F2. 探索新知 如图，设， 是同一平面内两个不共线的向量， a是这一平面内与， 都不共线的向量.将a按， 的方向分解，有什么发现？ 探究 ？ O N M C B 探索新知 探索新知 思考1：若向量a与e1或e2共线，还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？ 思考2：当a是零向量时， a还可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式吗？ 探索新知 如果给定的两向量， 共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？ 思考 ？ 不能，此时 与 共线，当向量 与它们不共线时，则无法表示. 只有， 不共线，才可以用来表示平面内的任一向量 探索新知 上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 思考 ？ 解答：分解方法唯一. 如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式， 那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2， 可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0， 由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0， 由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1＝μ1，λ2＝μ2， 因此，分解方法是唯一的. 探索新知 平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1 ， λ2 ，使a ＝ λ1e1＋λ2e2 基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 注意：(1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后，任意向量的表示法是唯一的， 即λ1，λ2是唯一确定的. 探索新知 思考1 作为一组基底的条件是什么？零向量可以作为基底吗？ 一组不共线的向量可以作为基底. 零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底. 思考2 一组平面向量的基底有多少对？ 无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底. 思考3 若e1，e2能作为基底，那么e1，3e2能作为基底吗？ e1+3e2，e1-2e2能作为基底吗？ 探索新知 思考4 若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？ 可以不同，也可以相同 O C F M N E 以 为基底 以 为基底 以 为基底 探索新知 解：因为 例1：如图， 不共线，且 ，用 表示 所以 确定基底后，用基底表示其他向量时，一般是利用向量加、减运算的三角形法则或平行四边形法则，一步步向基底中的向量靠近最终完成表示 探索新知 观察 ，你有什么发现？ 思考 ？ 且 若A,B,P三点共线，O为直线外一点 即 证明：由已知得， 所以 于是 所以点P在直线AB上. 探索新知 例2：如图CD是△ABC的中线， ，用向量方法证明△ABC是直角三角形. 证明：设 于是 则 因为 所以CD=DA. 因为 所以 因此CA⊥CB, 于是△ ABC是直角三角形. 向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（或直线）是否垂直的重要方法之一. 02 题型突破 题型突破 题型一　对基底的理解 [例1]　设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组： ① 与；② 与；③ 与；④ 与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A．①② B．①③ C．①④