数列求和初步　课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数学 第四章　数列 4.3.2.3数列求和初步 一、公式法求和 二、分组求和法 六、倒序相加法 本课内容 新教材《选择性必修二》 五、并项求和法 数列求和初步 四、错位相减法 三、裂项相消法 2 公式法求和 常用公式[关键确定项数] (1)等差、等比数列的前n项和 其中q为公比. 新教材《选择性必修二》 知识梳理 一、公式法求和 (2)四类特殊数列的前n项和 ②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2. 知识梳理 新教材《选择性必修二》 二、分组求和法 知识梳理 新教材《选择性必修二》 分组求和法 (1)一般情况下形如cn＝an±bn ； (2)数列{an}与{bn}； 是等差数列,或等比数列,或是其他已知求和方法的数列； (3)求数列{cn}的前n项和，分别利用已知的求和方法； 如等差数列和等比数列前n项和公式求和即可. 跟踪训练1　已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2. 解　数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2， 所以数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为2， 因此，an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 二、分组求和法 跟踪训练 新教材《选择性必修二》 (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{bn}满足b1＝－ ,b2＝－ ,设cn＝an＋bn， 若数列{cn}为 等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn. (2)已知数列{bn}满足b1＝－ ,b2＝－ ,设cn＝an＋bn，若数列{cn}为 二、分组求和法 跟踪训练 新教材《选择性必修二》 等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn. Sn＝a1＋a2＋…＋an 三、裂项相消法求和 新教材《选择性必修二》 新知学习 (1)通项公式为分式，可用待定系数法对通项公式拆项. 知识梳理 新教材《选择性必修二》 裂项相消法 (2)常见的拆项公式有 三、裂项相消法求和 三、裂项相消法求和 跟踪训练2　设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3. (1)求an； 解　设数列{an}的公差为d， 解得a1＝3，d＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. 跟踪训练 新教材《选择性必修二》 三、裂项相消法求和 (2)设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn. ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn 跟踪训练 新教材《选择性必修二》 三、裂项相消法求和 四、错位相减法 典型例题 错位相减法求和 (1)使用条件: ①通项公式是形如an·bn的形式, ②数列{an}和{bn}中一个是等差数列,一个是等比数列; (2)所乘系数:在等式两边同乘的是等比数列的公比或其倒数; (3)书写格式:两个等式中次数一样的项对齐; (4)差的特点:相减后的差共有n+1项,去掉前后两项, 中间的n-1项一定是等比数列. 知识梳理 新教材《选择性必修二》 四、错位相减法 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列 是公差为1的等差数列,且a2＝3. (1)求数列{an}的通项公式； 跟踪训练 新教材《选择性必修二》 跟踪训练3　 可得Sn＝n(a1＋n－1)， ∴a1＋a2＝2(a1＋1)，且a2＝3. 解得a1＝1.∴Sn＝n2. ∴n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n＝1时也成立). ∴an＝2n－1. 四、错位相减法 (2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　bn＝an·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{bn}的前n项和 Tn＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n， ∴3Tn＝ 1× 32 ＋3×33＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1， 可得Tn＝3＋(n－1)×3n＋1. 跟踪训练 新教材《选择性必修二》 跟踪训练3　 四、错位相减法 五、并项求和法求和 例4　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1). 　当n为奇数时， Sn＝Sn+1－(－1)n+1·（2n+1）=n+1-(2n+1)=-n 解 当n为偶数时， ∴Sn＝(－1)n·n (n∈N*). 典例分析 新教材《选择性必修二》 适用于通项中含有(－1)n的数列[摆动数列] ; 并项求和法 知识梳理 新教材《选择性必修二》 注：也可分项数为奇数和偶数分别进行求和[分组求和]. 五、并项求和法求和 六、倒序相加法求和 典例分析 (1)倒序相加法是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an). (2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法. 知识梳