第一讲导数的概念及其运算导学案-2024届高三数学一轮复习

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 导数的概念及其运算 课型 课时 第1课时 主备教师 学习目标 一、知识填空 1．导数的概念 (1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，把比值＝ 叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． (2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (3)当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)， 即y′＝f′(x)＝ 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P 处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0＝f′(x0)，切线方程为 3．基本初等函数的导数公式 (1)c′＝ (c为常数)． (2)(xα)′＝ (α∈Q，且α≠0)． (3)(sinx)′＝ .(4)(cosx)′＝ .(5)(ax)′＝ (a＞0，且a≠1)． (6)(ex)′＝ .(7)(logax)′＝ (a＞0，且a≠1)．(8)(ln x)′＝ . (1)[f(x)±g(x)]′＝ . (2)[f(x)g(x)]′＝ . 特别地：[cf(x)]′＝ (c为常数)．(3)′＝ (g(x)≠0). 5．复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积． 二、预习自测 1．下列求导运算正确的是(　　) A．(sina)′＝cosa(a为常数) B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．()′＝ 2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A．9.1米/秒 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 3．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝________. 4．设f(x)＝ln (3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝________. 5．曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________. 6．曲线y＝sinx＋ex在x＝0处的切线过点(m,0)，则m＝________. 三、典例剖析 例1　 (1)已知f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝＋2f′(1)·x，则f′(1)＝________. (2)求下列函数的导数： ①y＝tanx； ②y＝x； ③y＝； ④y＝xsincos. 导数的运算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导． 练习 1.f(x)＝x(2020＋ln x)，若f′(x0)＝2021，则x0＝(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 2．求下列函数的导数： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx； (3)y＝x； (4)y＝. 考向二　导数的几何意义 角度　　导数与函数图象 例2　(1)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，下列数值排序正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) (2)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝____