6.7用相似三角形解决问题（六大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级下册数学《第6章 图形的相似》 6.7用相似三角形解决问题 知识点一 平行投影与中心投影 1、在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影． 2、在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例． 3、在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 知识点二 利用相似三角形测量物体的高度 测量不能直接到达顶部的物体的高度，一般都是构造两个相似三角形，利用“相似三角形对应边成比例”解决. ◆1、利用影子测量物体的高度 1.测量出参照物的高度 DF； 2.测量出太阳光下参照物的影长EF 和被测物体的影长BC； 3.计算出被测物体的高度AC. 【注意】 注意：运用此测量方法时，要符合下列两个条件： (1)被测物体的底部能够到达； (2) 由于影长随着时间的变化而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长. ◆2、借助标杆测量物体的高度： 利用标杆与被测物体平行构造相似三角形. 测量方法： 1.测出FC, AB ； 2.测出BC, BD； 3. 利用对应边成比例, 计算EH，物高DE= EH+ AB. 【注意】 利用标杆测量物体的高度是生活中经常采用的方法，使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和物体顶端必须“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时被测物体的底部必须可到达. ◆3、利用平面镜的反射测量物体的高度： 利用平面镜的反射，根据“反射角等于入射角”构造相似三角形. 测量方法： 1.在观测者与被测物体之间的地面上平放一面平面镜，在平面镜上做一个标记 E； 2.测出观测者眼睛到地面的高度 CD； 3.观测者看着平面镜来回走动，直至看到被测物体顶端在平面镜中的像与平面镜上的标记重合，此时测出平面镜上的标记位置到观测者脚底的水平距离 DE 及到被测物体底端的水平距离 BE； 4.根据“两角分别相等的两个三角形相似”推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度 AB. 【注意】 测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且平面镜要水平放置. 题型一 利用影长测量物体的高度 【例题1】（2023秋•惠州期末）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）m． A．2 B．4 C．6 D．8 解题技巧提炼 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 【变式1-1】（2023秋•佛山期末）如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m，则旗杆DE的高度为（　　） A．9m B．10m C．11m D．12m 【变式1-2】（2022秋•丹江口市期末）小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m．则塔高 　 　m． 【变式1-3】（2023秋•灯塔市校级期末）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE＝5米，窗口高AB＝2米，那么窗口底部离地面的高度BC为（　　） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 【变式1-4】（2023•西湖区校级二模）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝12米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度为 　 　米． 【变式1-5】（2023秋•朝阳区期中）古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB． 【变式1-6】（2020•秦皇岛一模）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方． ①计算小亮在路灯AD下的影长； ②计算AD的高． 题型二 利用标杆测量物体的高度 【例题2】（2022秋•温州期末）如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3m，则楼房的高度是（　　） A．25m B