7.2.3 同角三角函数的基本关系式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.2.3同角三角函数的基本关系式 通过对前一节任意角的三角函数的学习，我们知道三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？ 今天，就让我们一起来探讨： 同角三角函数的基本关系式 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式. （重点） 2.掌握运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简、证明的方法.（难点） 探究：同角三角函数的基本关系式 思考1：角 的正弦、余弦、正切是怎样定义的？ α P(x,y) 思考2：同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？ 同角三角函数的基本关系式 平方关系 商数关系 思考3：你可以从三角函数线得到第一个基本关系式吗？ 【提示】如图，设点是角的终边与单位圆的交点，过作轴的垂线，交轴于点A，则△OAP是直角三角形，且. 利用勾股定理可知： ， 结合三角函数的定义可知： . 特别提醒： 1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立. 如sin230º+cos260º≠1. 2.同角不要拘泥于形式，α， ，6α等都可以. 3. 商数关系中注意限制条件. 即cosα≠0. α≠kπ+ ，k∈Z. 例1.已知 ，且α是第二象限的角，求角α的余弦和正切． 【解析】因为，得, 所以 因为α是第二象限角,所以, 所以. . 例2.已知 ，且α是第二象限的角，求角α的正弦和余弦． 【解析】由题意和同角三角函数的基本关系式，有 【分析】,可以把,看成两个未知数，可以通过联立方程组求解. 由②得，代入①整理得 ，所以 因为α是第二象限角,所以, 所以，代入②式得 . 1.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值 注意：合理选公式择，一般是已知正弦、余弦先选用平方关系，已知正切要联立方程组． 2.应用平方关系求三角函数值时，若角α所在的象限已经确定，要根据角终边位置确定所求值的符号． 注意：若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果． 归纳总结 跟踪训练：已知 ，求角α的余弦和正切． 【解析】因为,所以是第三、四象限角 当α是第三象限角时， ,; 当α是第四象限角时， ,. 例3. 已知sinα－cosα= ,求tanα的值. 【解析】由题意和同角三角函数的基本关系式，有 消去，得5－cosα－2=0，解得 或 当时，,此时 当时，，此时. 例4. 化简： . 【解析】原式= 化简方向： 切化弦 跟踪训练：若，则的值是（ ） A.-2 B.2 C. D. B 例5. 求证：(1)sin4α－cos4α=2sin2α－1. 证明：因为原式 左边= = = =2－1=右边. 所以原等式成立. 证明：因为原式右边=(1－) =－ = =左边. 所以原等式成立. (2). = (3). 证明：（方法一）因为 所以原等式成立. 证明：（方法二）因为由题意知，因而 原式左边= =右边 所以原等式成立. 1.证明恒等式的一般思路如下： (1)从一边证到另一边，一般由繁到简； (2)左右开工，即证左边、右边都等于第三者； (3)比较法(作差，作比法)． 2.常用的技巧： (1)巧用“1”的代换； (2)化切为弦； (3)多项式运算技巧的应用(分解因式)． 归纳总结 $$