2.4.1圆的标准方程教案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

2.4.1圆的标准方程 课标解读 1. 学会确定圆的位置； 2. 会根据圆心和半径写圆的标准方程，根据圆的标准方程得到圆心和半径； 3. 会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系； 4. 会用待定系数法和几何法求圆的标准方程 学情分析： 1. 初中学习过圆的一些性质：垂径定理，90°的圆周角所对的弦是直径等； 2. 学习过三角形外接圆的圆心的定义和确定方法； 3. 学习过两点间的距离公式等： 4. 利用几何性质求圆心时会有困难；解三元方程会有困难 教学重难点： 重点：会求圆的标准方程；会判断圆与点的位置关系； 难点：几何法求圆的标准方程 温故导新 多边形和圆是平面几何中的两类基本图形。建立直线的方程后，可以运用它研究多边形这些“直线型”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题。类似的，为了研究圆的性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程。 用笔思考： 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 问题2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 问题3 平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 问题4 根据例2和例3，如何利用待定系数法和几何法求圆的标准方程？ 小组讨论（主动讲解） 1.确定三角形外心的方法是什么？ 2.教材P83/84例2、例3还有其他的解法吗 3.以线段AB为直径的圆的方程可以怎么写？ 展示答疑： 预设： 1、 判断点与圆位置关系的方法有哪些（代数和几何法） 2、 总结待定系数法求圆的标准方程的步骤 双师导学； 知识梳理一：圆的标准方程 在平面直角坐标系中，我们称(x－a)2＋(y－b)2＝r2为圆的标准方程，其中(a，b)为圆心，r为半径. 温馨提示　(1)当圆心在原点即A(0，0)时，方程为x2＋y2＝r2. (2)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. 例1 写出下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)； (2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)； (3)求过两点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程. 解　(1)圆心为C(4，－1)，且过点(5，2)， ∴半径r＝＝， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)设圆心为C(0，b)， ∴r＝＝5， ∴(4＋b)2＝16＝42， ∴4＋b＝4或4＋b＝－4， ∴b＝0或b＝－8， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)设圆心为M(a，0)，∵|MC|＝|MD|， ∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2， 即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9， ∴a＝2，r＝|MC|＝， ∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10. 思维升华　1.利用(x－a)2＋(y－b)2＝r2可以直接写出圆心和半径，但要注意，如果r是参数，则半径为|r|，且r≠0. 2.几种特殊位置的圆 条件 方程形式 过原点(圆心(a，b)，半径r＝) (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 圆心在原点(即a＝0，b＝0，半径为r，r>0) x2＋y2＝r2 圆心在x轴上(即b＝0，半径为r，r>0) (x－a)2＋y2＝r2 圆心在y轴上(即a＝0，半径为r，r>0) x2＋(y－b)2＝r2 与x轴相切(圆心(a，b)，半径r＝|b|，r>0) (x－a)2＋(y－b)2＝b2 与y轴相切(圆心(a，b)，半径r＝|a|，r>0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2 知识梳理二：点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 温馨提示　由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“<”“>”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解. 例2 (1)点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 (2)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 答案　(1)B