第六讲 正弦定理、余弦定理应用导学案2-2024届高三数学一轮复习

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 正弦定理、余弦定理应用 课型 课时 第2课时 主备教师 学习目标 1、 1.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语. 2、 2.会建立实际问题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理 3、 解决有关距离、高度、角度等实际问题. 一 、 与测量有关的角的术语 1. 方位角与方向角 （1）从正北方向顺时针转到目标方向线的最小角叫方位角， 如图Z-2-1，目标A的方位角为135°. （2）从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的角叫方向角. 如图Z-2-2，目标A的方向角为北偏东30°，目标B的方向角为南偏东45°. 图Z-2-1      图Z-2-2 　 2. 仰角与俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角叫仰角. 视线在水平线下方时与水平线的夹角叫俯角（如图Z-2-1所示）. 图Z-2-13 图Z-2-4 3.坡角与坡度 坡面与水平面的夹角叫坡角， 坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度，坡度α＝，如图Z-2-4. 1. 利用正、余弦定理求解实际问题的思路 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或多个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题. 2.几种常见题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等. 3.解题时需注意的几个问题 （1）要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出（或作出）这些角； （2）要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解题. 2、 典例剖析 模型3：测量的两个点A，B之间不可视也不可达，求AB，如隧道问题等. 另选一点C，测得AC＝b，BC＝a及∠C度数， 则由余弦定理得AB＝ . 2. 测量高度问题 例2 如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD的高度（建筑物CD垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定A，B两点，其距离为100米，然后在A处测得∠DAB＝60°，在B处测得∠DBA＝75°，∠DBC＝30°，则建筑物CD的高度为　　　　米. 如图，在离地面高200 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°， 山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为　　　m. 测量高度问题的解法 1.在军事、航空、天文、地理测量以及日常生活中，经常需要测量一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度，这些物体的高度一般不能直接用解直角三角形的方法解决，常常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物等物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题. 2.两个基本模型及解法： （模型1）点B与C，D共线（求AB）. 测得CD＝a及∠C与∠ADB的度数.先用正弦定理求出AC与AD， 再解直角三角形得AB的值. （模型2）点B与C，D不共线（求AB）. 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.在△BCD中由正弦定理 求得BC，再解直角三角形得AB的值. 2.测量角度问题 例3如图，为了了解某海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m， 于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m， 求∠DEF的余弦值. 如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m后到达点B，又从点B测得斜度为45°，假设建筑物高50 m，求此山坡对于地平面的斜度θ的余弦值. 测量角度问题的解法 1.测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等. 2.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解. 四、课堂小结 第五章三角函数、解三角形 第六讲 正弦定理、余弦定理应用导学案2 ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$