新课第02讲：二次根式的乘除-2023-2024学年八年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列（人教版）

新课第02讲：二次根式的乘除 【考点梳理】 考点一：二次根式的乘法 考点二：二次根式的除法 考点三：二次根式的乘除混算 考点四：最简二次根式的判断 考点五：化为最简二次根式问题 考点六：已知最简二次根式求参数 考点七：二次根式的乘除综合问题 【知识梳理】 考点一：二次根式的乘法法则 ．=（a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 （1） 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。 （2） 推广 ①．．=（a≥0，b≥0，c≥0） ②a．c=ac ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。 知识二、二次根式乘法法则的逆用 =．（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。 知识三、二次根式的除法法则 =（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。 （2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×这样的错误。 知识四、二次根式除法法则的逆用 =（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。例如计算，不能写为=，而应写为===。 当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。 知识五、最简二次根式的概念 ★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ★化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 ==2，==xy2 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 ===或==== 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 ===或==== 被开方数是多项式的要先进行因式分解 ===（x2+y2） 知识六：分母有理化 二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：与；与；与；+与-；a+c与a-c等。 【题型归纳】 题型一：二次根式的乘法 1．（2023下·山东临沂·八年级统考期中）已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用二次根式的乘法法则与二次根式的性质求出，再利用夹值法即可求出的范围． 【详解】解：． ∵， ∴， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，估算无理数的大小，将化简为是解题的关键． 2．（2023下·辽宁抚顺·八年级统考阶段）下列各等式成立的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式乘法法则进行计算再依次判断即可． 【详解】A.，故A错误； B.，故B错误； C.，故C错误； D.正确，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查二次根式的乘法法则，将系数相乘，根式相乘，再把结果相乘，注意根式应化为最简根式． 3．（2023下·四川南充·八年级校考期中）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用积的乘方得到原式•，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 故选D． 题型二：二次根式的除法 4．（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的除法法则计算． 【详解】解：A、，∴不符合题意； B、，∴符合题意； C、，∴不符合题意； D、，∴不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，掌握二次根式的除法运算法则是解题关键． 5．（2023下·天津南开·八年级统考期末）下列各式的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘除运算法则逐项计算即可判断. 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算错误； D、，故本选项计算正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键. 6．（20