新课第01讲：二次根式-2023-2024学年八年级数学寒假同步精讲精练系列（人教版）

新课第01讲：二次根式 【考点梳理】 考点一：二次根式的定义 考点二：二次根式有意义的条件 考点三：利用二次根式的性质化简 考点四：复合二次根式的性质化简 【考点梳理】 考点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 · 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。如可以写作。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。 （4） 在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （5） 形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系。要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2 。 考点二、二次根式的性质 二次根式的性质 符号语言 文字语言 应用与拓展 注意 （a≥0）的性质 ≥0 （a≥0） 一个非负数的算术平方根是非负数。 （1）二次根式的非负性（≥0，a≥0）应用较多，如：+=0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如+，则x的取值范围是x-a≥0，a-x≥0，解得x=a。 （2）具有非负性的性质：①a2≥0；②｜a｜≥0；③≥0（a≥0）。 （3）若a2+｜b｜+=0，则a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。 （a≥0）的最小值为0。 （）2（a≥0）的性质 （）2 = a（a≥0） 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 正用公式：（）2 =5；（）2=m2+1；逆用公式：若a≥0，则a=（）2如：2=（）2，=（）2 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（）2 =(a+)(a-) 的性质 =｜a｜=a（a≥0）或 =｜a｜= - a（a＜0） 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 （1）正用公式：=｜3-π｜=3-π （2）逆用公式：3==3 化简形如的式子时，先转化为 ｜a｜形式，再根据a的符号去掉绝对值号。 【题型归纳】 题型一：二次根式的定义 1．（2023下·河南驻马店·八年级校考）下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2023下·辽宁铁岭·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022下·河南三门峡·八年级校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，是二次根式的有（    ） A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤ 题型二：二次根式有意义的条件 4．（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）取下列各数时，使代数式有意义的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期末）当有意义时，a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）使式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 题型三：利用二次根式的性质化简 7．（2024上·北京顺义·八年级统考期末）若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）已知成立． (1)填空：x的取值范围是______． (2)化简：． 9．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知，，为的三边长．化简：． 题型四：复合二次根式的性质化简 10．（2022下·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 11．（2023下·湖南郴州·八年级校考开学考试）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 12．（2022上·福建宁德·八年级校考阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简． 例如：化简： ∵ ∴ 仿照上例化简下列各式： (1) (2) 【双基达标】 一、单选题 13．（2024上·