2024年苏科版九年级中考数学复习课提优几何模型2：三垂直全等模型（k型全等模型）

冲刺中考 中考提优几何模型二 三垂直全等模型 （也称“K”型全等） 几何专题二：三垂直全等模型 （“K”型全等） 模型：三垂直全等模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC. 结论：Rt△BCD≌Rt△CAE. 三垂直模型拓展： 【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。 典型例题 例1：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE=DE.求证：AB+CD=BC. 例2:如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD=2.5cm，BE=0.8cm，则DE的长为多少？ 例3：如图，于点，点在直线上，． (1)如图1，若点在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，若点在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由． 例4：（1）观察理解： 如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB． （2）理解应用： 如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点． （3）类比探究： ①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______； ②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ． ☆模型拓展：一线三等角与一组对应边相等全等模型 【说明】上图中可根据平角的概念和三角形内角和定理可求得的两个三角形中三组对应角相等，只要再知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。 典型例题 例1：如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE， BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长． 例2：在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α． (1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 　 　； (2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 例3：在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E，在直线m上方有AB=AC，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是____________； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＜∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与CB的延长线交于点F，若BC=3FB，△ABC的面积是12，求△FBD与△ACE的面积之和． 课后练习 1.如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 2.如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．直线l经过点A，过点B作BE⊥l于点E，过点C作CF⊥l于点F．若BE=2,CF=5，则EF__________． 3.如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____． 4.如图，直线上有三个正方形，若、的面积分别是5和11，则的面积是 . 5.如图①，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P为BC上一动点（BP<CP），分别过B、C作BE⊥AP于E、CF⊥AP于F. （1）求证：EF=CF-BE； （2）如图②，若P为BC延长线上一点，其他条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论. 6.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，设∠BCD=，以D为旋转中心，将腰DC绕点 D逆时针旋转90°至DE. （1）当=45°时，求△EAD的面积； （2）当=30°时，求△EAD的面积； （3）当0°<<90°，猜想△EAD的面积与大小有无关系.若有关，写出△EAD的面积S与的关系式；若无关，请证明你的结论. 7.（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA； （2）模型应用： ①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的