分类讨论思想在等腰三角形中的常见应用专题训练 课件 2023－2024学年人教版数学八年级上册

分类讨论思想 在等腰三角形中的常见应用 专题训练 八年级数学(上)专项训练 例 等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm,一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分.求腰长. 解题秘方:当满足条件的图形不确定时,分类是解决问题的首选方法,本例由于题目中没有指明是“(AB+AD+BD)-(BC+CD+BD)”为3 cm,还是“(BC+CD+BD)-(AB+AD+BD)”为3 cm,因此必须分两种情况讨论. 2 解:∵BD为AC边上的中线, ∴AD=CD. (1)当(AB+AD+BD)-(BC+CD+BD)=3 cm时,AB-BC=3 cm, ∵BC=5 cm, ∴AB=5+3=8(cm). (2)当(BC+CD+BD)-(AB+AD+BD)=3 cm时,BC-AB=3 cm, ∵BC=5 cm, ∴AB=5-3=2(cm). 但是当AB=2 cm时,三边长为2 cm,2 cm,5 cm, 而2+2<5,不能构成三角形,舍去. 故腰长为8 cm. 应用 1 当顶角或底角不确定时分类讨论 【点拨】 【答案】C 根据题意画出图形,注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角进行分类讨论. 如图①,当∠BAC是顶角时,易求出∠B=45 ; 如图②,当∠BAC是底角 时,易求出∠CAB=75 . 2.已知等腰三角形中,有一个角比另一个角的2倍少20 ,求顶角的度数. 解:设另一个角的度数是x,则原来那个角是2x-20 . 分三种情况讨论: (1)当x是顶角,2x-20 是底角时,x+2(2x-20 )=180 ,解得x=44 ,所以顶角是44 ; (2)当x是底角,2x-20 是顶角时,2x+(2x-20 )=180 ,解得x=50 ,所以顶角是2 50 -20 =80 ; (3)当x与2x-20 都是底角时,x=2x-20 ,解得x=20 ,所以顶角是180 -20 2=140 . 综上所述,这个等腰三角形顶角的度数是44 或80 或140 . 3.(1)已知等腰三角形的一边长为10 cm,周长为28 cm,求其他两边的长; 应用 2 当底和腰不确定时分类讨论 解:分两种情况: ①底边长为10 cm,则腰长为(28-10) 2=9(cm),能构成三角形,所以其他两边的长为9 cm,9 cm; ②腰长为10 cm,则底边长为28-10-10=8(cm),能构成三角形,所以其他两边的长为10 cm,8 cm. 综上所述,其他两边的长为9 cm,9 cm或10 cm, 8 cm. (2)已知等腰三角形的一边长为8 cm,一边长为9 cm,求它的周长; 解:分两种情况: ①腰长为8 cm,则底边长为9 cm,能构成三角形,所以它的周长为25 cm; ②腰长为9 cm,则底边长为8 cm,能构成三角形,所以它的周长为26 cm. 综上所述,它的周长为25 cm或26 cm. (3)已知等腰三角形的一边长为6 cm,一边长为13 cm,求它的周长. 解:分两种情况: ①当腰长为6 cm时,6+6<13,所以不能构成三角形; ②当腰长为13 cm时,13+6>13,所以能构成三角形,周长是13+13+6=32(cm). 综上所述,它的周长为32 cm. 【点方法】 等腰三角形,已知一边长及周长求另两边长或已知两边长求周长时,需要对已知边长进行分类讨论. 4.一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50 ,求这个等腰三角形的底角的度数. 应用 3 当高的位置不确定时分类讨论 解:如图①,当高BD在 ABC内部时, ∠ABD=50 ,∠ADB=90 ,则∠A=40 . ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70 . 如图②,当高BD在 ABC外部时,∠ABD=50 ,∠ADB=90 ,则∠DAB=40 , ∴∠BAC=140 . ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=20 . 综上所述,这个等腰三角形的底角的度数是70 或20 . 5.在 ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E.若∠EBC=42 ,求∠BAC的度数. 应用 4 当腰的垂直平分线状况不确定时分类讨论 6.在 ABC中,AB=AC,周长为27 cm,且AC边上的中线BD把 ABC分成周长差为3 cm的两个三角形.求 ABC各边的长. 应用 5 当腰上的中线状况不确定时分类讨论 7.已知O为等边三角形ABD的边BD的中点,AB=4,E,F分别为射线AB,DA上一动点,且∠EOF=120 .若AF=1,求BE的长. 应用 6 当点的位置不确定时分类讨论 解:分两种情况:(1)如图①,当点F在线段DA上时,作OM∥AB交AD于M,易得DM=AM=2, OMF≌ OBE, ∴BE=MF=2-1=1. (2)如图②,当点F在线段DA的延长线上时,作OM∥AB交AD于M,同(