等腰三角形“三线合一”常见题型专项训练 课件 2023－2024学年人教版数学八年级上册

等腰三角形“三线合一” 常见题型专项训练 八年级数学(上)专项训练 例 2 解题秘方:等腰三角形“三线合一”的性质是证线段或角的倍分关系或相等关系常用的性质之一,解答含等腰三角形的题型时,常常要考虑构造等腰三角形“三线合一”的基本图形.本例通过作垂线,根据等腰三角形“三线合一”的性质证角的倍分关系. 题型 1 利用“三线合一”求角的度数 1.如图,房屋屋架的顶角∠BAC=100 ,立柱AD⊥BC,斜梁AB=AC.求∠B,∠C,∠BAD,∠CAD的度数. 解:∵AB=AC,∠BAC=100 , ∴∠B=∠C=40 . ∵AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD=50 . 题型 2 利用“三线合一”求线段长 B 3.如图,在 ABC中,AB=AC,AD=DB,DE⊥AB于点E.若BC=10,且 BDC的周长为24.求AE的长. 【点技巧】 先根据 BDC的周长及BC的长求出AB的长,再根据等腰三角形“三线合一”的性质求出AE的长. 题型 3 利用“三线合一”证角相等 5.如图,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD,垂足为M.求证:CM=MD. 题型 4 利用“三线合一”证线段相等 6.已知在 ABC中,∠BAC=90 ,AB=AC,D为BC边的中点. (1)如图①,E,F分别是AB,AC上 的点,且BE=AF,试判断 DEF的形状,并说明理由; 题型 5 利用“三线合一”判断三角形的形状 解: DEF为等腰直角三角形. 理由:连接AD,易证 BDE≌ ADF. ∴DE=DF,∠BDE=∠ADF. ∵AB=AC,D为BC的中点, ∴AD⊥BC.∴∠ADB=90 . ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠ADB=90 .∴ DEF为等腰直角三角形. (2)如图②,若E,F分别为AB,CA延长线上的点,且仍有BE=AF.请判断 DEF是否仍具有(1)中的形状,并说明理由. 解:是.理由略. 7.如图,已知在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90 ,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证:BF=2CD. 题型 6 利用“三线合一”证线段的倍分关系(构造三线法) 证明:如图,延长BA,CD交于点E. ∵BF平分∠ABC,CD⊥BD, ∴∠EBD=∠CBD, ∠BDE=∠BDC=90 . 又∵BD=BD, ∴ BDC≌ BDE(ASA).∴BC=BE. 又∵BD⊥CE,∴CE=2CD. ∵∠BAC=90 ,∠BDC=90 ,∠AFB=∠DFC, ∴∠ABF=∠ACE. 又∵AB=AC,∠BAF=∠CAE=90 , ∴ ABF≌ ACE(ASA).∴BF=CE.∴BF=2CD. 8.如图,在 ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C.求证:CD=AB+BD. 应用 7 利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法) 证明:如图,以点A为圆心,AB长为半径画弧交CD于点E,连接AE,则AE=AB, ∴∠AEB=∠ABC.∵AD⊥BC, ∴AD是BE边上的中线,即DE=BD. ∵∠ABC=2∠C,∴∠AEB=2∠C. 又∵∠AEB=∠C+∠CAE, ∴∠CAE=∠C.∴CE=AE=AB. ∴CD=CE+DE=AB+BD. 【点方法】 构造等腰三角形,利用等腰三角形“三线合一”证明线段的和差关系. 如图,在 ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D.求证:∠DBC=∠BAC. 证明:如图,过点A作AF⊥BC于点F. ∵AB=AC,AF⊥BC, ∴∠CAF=∠BAF=∠BAC. ∵AF⊥BC,BD⊥AC, ∴∠CAF+∠C=∠DBC+∠C=90 . ∴∠DBC=∠CAF.∴∠DBC=∠BAC. 2.如图,在 ABC中,AB=AC.在AB,AC上分别截取AP,AQ,使AP=AQ.再分别以点P,Q为圆心,以大于PQ的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点R,作射线AR,交BC于点D.若BC=6,则BD的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解:∵ BDC的周长=BD+BC+CD=24,BC=10, ∴BD+CD=14. ∵AD=BD,∴AC=AD+CD=BD+CD=14. ∴AB=AC=14. ∵AD=DB,DE⊥AB,∴AE=EB=AB=7. 4.如图,在 ABC中,AB=AC,CE⊥AE于点E,CE= BC,点E在 ABC外.求证:∠ACE=∠B. 证明:过点A作AD⊥BC于点D,如图所示. ∵AB=AC,∴BD=BC. 又∵CE=BC,∴BD=CE. 在Rt ABD和Rt ACE中, ∴Rt ABD≌Rt ACE(HL).∴∠ACE=∠B. 证明:如图,连接AC,AD. 在 ABC和 AED中, ∴ ABC≌ AED(SAS).∴AC=AD. 又∵AM⊥CD,∴CM=MD. $$