江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2023-2024学年高一上学期数学期末复习讲义(指数函数的图象和性质2)

第2课时 指数函数的图象和性质（二） 典例精析 题型一 与指数函数复合方程有解问题 【例1】已知方程有解，求实数的取值范围 题型二 运用与指数函数复合的函数的性质解题 【例2】已知函数，则满足的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 【例3】已知函数，对任意的实数，，，关于的方程的解集不可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 类型三 与指数函数有关的综合问题 例4 已知是定义在上的奇函数，当时，. （1） 求在上的解析式; （2） 研究的单调性; （3）求的值域. 例5 已知函数. （1） 利用定义判断函数在区间上单调性; （2）对于任意正数，设，，试比较与的大小，并加以证明. 例6 已知定义在上的函数，对任意，有，且当时，. （1）求证：对于， 恒成立; （2）求证：函数在 上为增函数; （3）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 基础精练5 指数函数的图象和性质（二） A组 1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）． A． B． C． D． 2．方程的实数根的个数是（ ）． A． B． C． D． 3．如果函数，且)在区间上是增函数，那么实数的取值范围是( )． A． B． C． D． 4．不等式的解集为________． 若函数在上的最大值为，最小值为，且函数在上是增函数，则______． 6．对于函数定义域中任意的，有: ①；②；③； ④．当时，上述结论正确的是_________(填序号)． 7．已知函数，．当时，有，则，的大小关系是_______． 8．设是定义在上的函数，满足条件是偶函数，且当时， ，则，，的大小关系是_______． 9．根据牛顿冷却定律，可得出公式:，其中是物体的初始温度，是物体经过冷却了后的温度，是物体周围的温度，为正常数．假设有一根金属棒放入水中，如果水的温度保持为，后金属棒的温度由降至．试求后金属棒的温度． 10．已知． (1)求的定义域; （2)判断的奇偶性，并说明理由; (3)证明:． B组 11．已知函数若函数的值域为，则实数的取值范围是( )． A． B． C． D． 12．已知函数则______，不等式的解集为_________． 13．设且，函数为奇函数，则_____,_____． 14．设函数则_______． 15．若关于的方程有实根,则实数的取值范围是_______． 16．已知且,，若当时,均有,则实数的取值范围是_______． 17．设函数． （1）证明:函数是奇函数; （2）证明:函数在内是增函数; （3）求函数在上的值域． 18．已知函数． （1）求证:不论为何实数，总是增函数; （2）确定的值，使为奇函数; （3）当为奇函数时，求的值域． 19．求函数的最大值和最小值． 20．已知函数，． (1)判断函数的奇偶性; (2)若当时，恒成立，求实数的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 指数函数的图象和性质（二） 典例精析 题型一 与指数函数复合方程有解问题 【例1】已知方程有解，求实数的取值范围 解 . 令. 因为，所以，所以，即的值域为 本题也可设，则，从而化为关于的方程至少有一个正根的条件． 题型二 运用与指数函数复合的函数的性质解题 【例2】已知函数，则满足的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 解 易知为偶函数，且在上单调递增，由，可得，即，解得，故选D 注意 本题的关键是注到不等式的右边好是，通过挖掘发现是偶函数，且在上单调递增，根据这两个挖掘的性质，再充分利用图像的直观性，降低了思维难度，简化了解题过程 【例3】已知函数，对任意的实数，，，关于的方程的解集不可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 解 令，则方程可转化为，它有，个解，则解方程，可转化为解方程及，由的图象（如图4-8所示） 关于直线对称可知，若方程及有解，则当时，解为，当时，有两个关于对称的解，结合选项知D选项不符合条件，故选D． 注意 本题的关键是要挖掘出内层函数的图象关于直线对称. 类型三 与指数函数有关的综合问题 例4 已知是定义在上的奇函数，当时，. （1） 求在上的解析式; （2） 研究的单调性; （3）求的值域. 分析 根据奇函数的定义写出在上的解析式，按单调性定义求单调区间，由单调区间可得函数的值域. 解（1）当时，.因为，所以. 又，所以 (2)设，则 因为，所以 ,.又因为， 所以，即. 所以在上为减函数. 同理,在上也为减函数. （3）由（2）知在上单调递减，所以当时，.又因为在上单调递减，所以当时，.而，所以函数的值域为 例5 已知函数. （1） 利用定义判断函数在区间上单调性; （2）对于任意正数，设，，试比较与的大小，并加以