3.1.2 椭圆的简单几何性质 教案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2.1　椭圆的简单几何性质 课标解读 1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义. 2.会利用椭圆的几何性质求标准方程. 3.会求椭圆的离心率. 4.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形． 学情分析 1. 前面的章节已经学习了椭圆的定义，有了一定的基础。 2. 在讨论椭圆性质时，易忽略焦点位置的讨论 3. 离心率的计算比较复杂，有一定难度。 教学重难点 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点) 2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点) 温故导新 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等 用笔思考 问题1　观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 提示　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 问题2　观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提示　利用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度． 问题3 如图所示，椭圆方程为＋＝1，你能根据方程确定椭圆的边界吗？ 提示　由方程＋＝1得＝1－≥0，得－a≤x≤a， 同理可得－b≤y≤b，故椭圆位于x＝±a和y＝±b围成的矩形内. 问题4 如上图所示，椭圆具有怎样的对称性？如何用方程加以说明？ 提示　既关于坐标轴为轴对称，又关于原点为中心对称.方程中若(x，y)满足，则易知(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)也满足. 主动讲解 三人一组，讨论以下问题 1.椭圆的离心率对椭圆形状的影响 2.椭圆上哪些点比较特殊？ 双师导学 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) (a>b>0) 范围 对称性 对称轴为 ，对称中心为 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长|B1B2|＝ ，长轴长|A1A2|＝ 焦点 焦距 |F1F2|＝ 注意点： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 2.离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的 ． (2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆 ；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆． 注意点： (1)e＝. (2)离心率的范围为(0,1)． (3)e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆． 聚焦核心 1.椭圆的简单几何性质 2.椭圆的离心率 强化反馈 1．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．焦点坐标为 D．离心率为 答案　CD 解析　由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1， 所以a＝，b＝，c＝ ， 所以长轴长2a＝1，焦距2c＝，焦点坐标为，离心率e＝＝. 2．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　由题意知c＝3，＝， 则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27， ∴椭圆的方程为＋＝1. 3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF1F2是正三角形． ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c， |BF2|＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝＝， 即椭圆的离心率e＝. 4．若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为________． 答案　2 解析　∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)， ∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1， 由于＋＝1表示的是椭圆， 则m