用全等三角形证明常见结论方法训练 课件 2023－2024学年人教版数学八年级上册

用全等三角形证明常见结论方法训练 八年级数学（上）专项训练 例 如图，已知CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC. 求证：CD＝2CE. 2 解题秘方：倍长中线法是证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法之一，它将证线段的倍数关系转化为证线段的相等关系，而构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等是证线段相等的常用方法之一．本题中将CE延长一倍至F，连接BF，可构造△ACE和△BFE全等，为△CBD和△CBF全等创造了条件． 又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF. ∵CB是△ADC的中线， ∴AB＝BD. 又∵AB＝AC，AC＝BF， ∴BF＝BD. 技巧 1 全等三角形法证线段相等 1．【2023·淄博】如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE.求证：BD＝CE. 2．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF.求证： 技巧 2 全等三角形法证线段的位置关系 (1)△ABF≌△DCE； (2)AF∥DE. 证明：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB＝∠DEC. ∴∠AFE＝∠DEF. ∴AF∥DE. 3．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为点F，G.求证：BF－DG＝FG. 技巧 3 等线段代换法证线段的和差关系 证明：在△ABF和△DAG中， ∵BF⊥AE，DG⊥AE， ∴∠AFB＝∠DGA＝90°.∴∠DAG＋∠ADG＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAG＋∠FAB＝∠DAB＝90°，AB＝AD. ∴∠FAB＝∠GDA.∴△ABF≌△DAG(AAS)． ∴BF＝AG，AF＝DG.∴BF－DG＝AG－AF＝FG. 【点方法】 本题运用了等线段代换法解决线段的和差问题．解决三条线段之间的和差问题一般通过全等转化为证线段相等． 4．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点．若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线段AE，AB，DE满足的数量关系，并证明． 技巧 4 截长补短法证线段的和差关系 解：AE＝AB＋DE. 证明：如图，在AE上截取AF＝AB，连接CF. ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC＝∠CAF. 又∵AC＝AC， ∴△BAC≌△FAC(SAS)． ∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF. ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACF＋∠FCE＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°. ∴∠FCE＝∠DCE. ∵C为BD边的中点，∴BC＝DC.∴DC＝FC. 又∵CE＝CE，∴△FCE≌△DCE(SAS)． ∴DE＝FE.∴AE＝AF＋FE＝AB＋DE. 【点方法】 　本题运用了截长法解决线段的和差问题．截长法是在第三条线段上截取一条线段等于第一条线段，证余下的线段等于第二条线段．本题在AE上截取AF＝AB，证EF＝DE. 技巧 5 倍长中线法证三边关系 证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. 证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE， 连接BF，则CF＝2CE. ∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE. 在△BEF和△AEC中， ∴△BEF≌△AEC(SAS)． ∴∠EBF＝∠A，BF＝AC. 在△CBF和△CBD 中， ∴△CBF≌△CBD(SAS)． ∴CF＝CD.∴CD＝2CE. 证明：∵△ABC是等腰三角形， ∴∠EBC＝∠DCB. 在△EBC和△DCB中， ∴△EBC≌△DCB(SAS)．∴BD＝CE. 证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C. ∵BE＝CF，∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE. 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE(SAS)． 5．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的中线． 求证：(AB－AC)＜AD<(AB＋AC)． ∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD. 在△ACD和△EBD中， ∴△ACD≌△EBD(SAS)．∴AC＝EB. 在△ABE中，AB－BE＜AE<AB＋BE， 即AB－AC＜2AD<AB＋AC， ∴(AB－AC)＜AD<(AB＋AC)． $$