专题1.1 等腰三角形与等边三角形的判定和性质之八大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

专题1.1 等腰三角形与等边三角形的判定和性质之八大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 根据等腰三角形腰相等求第三边或周长】 1 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 3 【考点三 根据等腰三角形三线合一进行求解】 4 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行证明】 8 【考点五 等腰三角形的性质和判定综合应用】 11 【考点六 等边三角形的性质】 14 【考点七 等边三角形的判定和性质】 16 【考点八 含30°角的直角三角形三边的数量关系】 21 【过关检测】 22 【典型例题】 【考点一 根据等腰三角形腰相等求第三边或周长】 例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图，，平分，，则 ． 【变式训练】 1．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它的底边长为 ． 2．（2023·全国·八年级课堂例题）如果实数，满足，且，恰好是等腰的两边长，那么的周长是 ． 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 例题：（2023上·广东广州·八年级期末）如图，中，，，则的度数是 ．    【变式训练】 1．（2023上·吉林·八年级统考期末）如图，在中，，，点D在边上，并且，连接，则的大小为 度．    2．（2023上·重庆垫江·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形的一内角度数为，则它的底角的度数是 ． 【考点三 根据等腰三角形三线合一进行求解】 例题：（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图，，于，，则 ． 【变式训练】 1．（2023上·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，中，，D为上一点，E是上一点，且，，若，则的长是 ．    2．（2023下·安徽宣城·八年级校联考阶段练习）如图，等腰的底边长为，腰长为，D是上一动点，当与腰垂直时，则 ．    【考点四 根据等腰三角形三线合一进行证明】 例题：（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，点D、E在的边上，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练】 1．（2023·全国·八年级专题练习）如图，点，分别在，的延长线上，且，．求证：．    2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，，D是BC的中点，过点A作，且．求证：． 【考点五 等腰三角形的性质和判定综合应用】 例题：（2023上·河南商丘·八年级校联考阶段练习）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，平分，且． (1)判断的形状并说明理由； (2)平分交于点G，若，求的度数． 【变式训练】 1．（2023上·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）已知：如图中，，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 2．（2023上·吉林·八年级校联考期中）如图，直线，的平分线交于点F，的平分线交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的大小． 【考点六 等边三角形的性质】 例题：（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）已知为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，若，则 ． 【变式训练】 1．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，则 °；若点D在的延长线上，且，则 ° 2．（2023上·广西南宁·八年级南宁市第四十七中学校考阶段练习）如图，是边长为9的等边三角形，点P在上，过点P作，垂足为E，延长到点Q，使，连接交于点D，则的长为 ． 【考点七 等边三角形的判定和性质】 例题：（2023上·广东广州·八年级铁一中学校考期中）如图，在中，，，是上的中线，E是的中点，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的长． 【变式训练】 1．（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）如图，在等腰中，，是的中线，于点E，于点F．    (1)若，求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)若，，求的长． 2．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点，交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)若，求线段的长（结果用含的代数式表示）． 【考点八 含30°角的直角三角形三边的数量关系】 例题：（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为支柱（即上的中线），两根支撑架，，则等于 ． 【变式训练】 1．（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）如图，在中．，．，是延长线上一点．且．则 ． 2．（2023上·浙江宁波·八年