立体几何 专题二 直线、平面垂直的判定及其性质-【小尚同学】2024版高考数学真题分类全刷

专题二 　 直线、平面垂直的判定及其性质 P34 1. [2022·浙江卷,19T,15 分,★★★☆☆] 如图,已知 ABCD 和 CDEF 都是直角梯形,AB ∥ DC,DC ∥ EF,AB = 5,DC = 3,EF = 1,∠BAD = ∠CDE = 60°,二面角 F - DC - B 的平面角为 60°. 设 M,N 分别为 AE,BC 的中点. (1) 证明:FN ⊥ AD. (2) 求直线 BM 与平面 ADE 所成角的正弦值. 2. [2022·全国卷甲,18T,12 分,★★★☆☆] 在四棱锥 P - ABCD 中,PD ⊥ 底面 ABCD,CD ∥ AB,AD = DC = CB = 1,AB = 2,DP = 3 . (1) 证明:BD ⊥ PA; (2) 求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值. 3. [2022·全国卷乙(文),18T,12 分,★★★☆☆] 如图,四面体 ABCD 中,AD ⊥ CD,AD = CD,∠ADB = ∠BDC,E 为 AC 的中点. (1) 证明:平面 BED ⊥ 平面 ACD. (2) 设 AB = BD = 2,∠ACB = 60°,点 F 在 BD 上,当 △AFC 的面积最小时,求三棱锥 F - ABC 的体积. 8 4. [2021·全国卷甲(文),19T,12 分,★★★☆☆] 已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中,侧面 AA1B1B 为正方形,AB = BC = 2,E,F 分别为 AC 和 CC1 的中 点,BF ⊥ A1B1 . (1) 求三棱锥 F - EBC 的体积; (2) 已知 D 为棱 A1B1 上的点,证明:BF ⊥ DE. 5. [2021·全国卷乙(文),18T,12 分,★★★☆☆] 如图,四棱锥P - ABCD 的底面是矩形,PD ⊥ 底面 ABCD,M 为 BC 的中点,且 PB ⊥ AM. (1) 证明:平面 PAM ⊥ 平面 PBD. (2) 若 PD = DC = 1,求四棱锥 P - ABCD 的体积. 6. [2020·江苏卷,15T,14 分,★★★☆☆] 在三棱柱 ABC - A1B1C1 中,AB ⊥ AC,B1C ⊥ 平面 ABC,E,F 分别是 AC,B1C 的中点. (1) 证明:EF ∥ 平面 AB1C1 . (2) 证明:平面 AB1C ⊥ 平面 ABB1 . 9 7. [2020·全国卷 Ⅰ(文),19T,12 分,★★★☆☆] 如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,△ABC 是底面的内接正三角形,P 为 DO 上一点, ∠APC = 90°. (1) 证明:平面 PAB ⊥ 平面 PAC. (2) 设 DO = 2 ,圆锥的侧面积为 3 π,求三棱锥 P - ABC 的体积. 8. [2019·浙江卷,19T,15 分,★★★☆☆] 如图,已知三棱柱ABC - A1B1C1,平面 A1ACC1 ⊥平面 ABC,∠ABC = 90°,∠BAC = 30°,A1A = A1C = AC,E,F 分别是 AC,A1B1 的中点. (1) 证明:EF ⊥ BC. (2) 求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值. 9. [2019·天津卷(文),17T,13 分,★★★☆☆] 如图,在四棱锥P - ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,△PCD 为等边三角形,平面 PAC ⊥ 平面 PCD,PA ⊥ CD,CD = 2,AD = 3. (1) 设 G,H 分别为 PB,AC 的中点,证明:GH ∥ 平面 PAD. (2) 证明:PA ⊥ 平面 PCD. (3) 求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值. 01 10. [2018·浙江卷,19T,15 分,★★★☆☆] 如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面 ABC,∠ABC = 120°,A1A = 4,C1C = 1, AB = BC = B1B = 2. (1) 证明:AB1 ⊥ 平面 A1B1C1 . (2) 求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值. 11. [2018·江苏卷,15T,14 分,★★★☆☆] 在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中,AA1 = AB,AB1 ⊥ B1C1 . 证明: (1)AB ∥ 平面 A1B1C; (2) 平面 ABB1A1 ⊥ 平面 A1BC. 12. [2018·北京卷(文),18T,14 分,★★★☆☆] 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面 ABCD为矩形,平面PAD⊥ 平面 ABCD,PA⊥PD,PA = PD,E, F 分别为 AD,PB 的中点. (1) 证明:PE ⊥ BC. (2) 证明:平面