函数与导数 专题四 导数的综合应用-【小尚同学】2024版高考数学真题分类全刷

专题四 　 导数的综合应用 P49 1. [2020·全国卷 Ⅲ,21T,12 分,★★★★☆] 设函数 f(x) = x3 + bx + c,曲线 y = f(x) 在点( 1 2 ,f( 1 2 )) 处的切线与 y 轴垂直. (1) 求 b; (2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点,证明:f(x) 所有零点的绝对值都不大于 1. 2. [2019·全国卷 Ⅱ,20T,12 分,★★★★☆] 已知函数 f(x) =ln x - x + 1 x - 1 . (1) 讨论 f(x) 的单调性,并证明 f(x) 有且仅有两个零点; (2)设 x0 是 f(x) 的一个零点,证明曲线y = ln x在点 A(x0,ln x0) 处的切线也是曲线 y = ex 的切线. 3. [2016·四川卷,21T,14 分,★★★☆☆] 设函数 f(x) = ax2 - a - ln x,其中 a ∈ R. (1) 讨论 f(x) 的单调性; (2) 确定 a 的所有可能取值,使得 f(x) > 1 x - e1-x 在区间(1, + ∞ ) 内恒成立(e = 2. 718… 为自 然对数的底数) . 22 P50 4. [2023·天津卷,20T,16 分,★★★★★] 已知函数 f(x) = 1 x + 1 2( ) ln(x + 1) . (1) 求曲线 y = f(x) 在 x = 2 处切线的斜率. (2) 当 x > 0 时,证明:f(x) > 1. (3) 证明: 5 6 < ln(n!) - n + 1 2( ) ln n + n ≤ 1. 5. [2023·全国甲卷,21T,12 分,★★★★★] 已知函数 f(x) = ax - sin x cos3x ,x ∈ 0,π 2( ) . (1) 当 a = 8 时,讨论 f(x) 的单调性; (2) 若 f(x) < sin 2x,求 a 的取值范围. 6. [2022·新高考卷 Ⅰ,22T,12 分,★★★★☆] 已知函数 f(x) = ex - ax 和 g(x) = ax - ln x 有相同的最小值. (1) 求 a; (2) 证明:存在直线 y = b,其与两条曲线 y = f(x) 和 y = g(x) 共有三个不同的交点且从左到右的 三个交点的横坐标成等差数列. 32 7. [2022·浙江卷,22T,15 分,★★★★☆] 设函数 f(x) = e 2x + ln x(x > 0) . (1) 求 f(x) 的单调区间. (2) 已知 a,b ∈ R,曲线 y = f(x) 上不同的三点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3, f(x3)) 处的切线都 经过点(a,b) . 证明: (ⅰ) 若 a > e,则 0 < b - f(a) < 1 2 ( a e - 1); (ⅱ) 若 0 < a < e, x1 < x2 < x3,则 2 e + e - a 6e2 < 1 x1 + 1 x3 < 2 a - e - a 6e2 . (注:e = 2. 718 28… 是自然对数的底数) 8. [2022·全国卷乙,21T,12 分,★★★★☆] 已知函数 f(x) = ln(1 + x) + axe -x . (1) 当 a = 1 时,求曲线 y = f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线方程; (2) 若 f(x) 在区间( - 1,0),(0, + ∞ ) 各恰有一个零点,求 a 的取值范围. 9. [2022·全国卷甲,21T,12 分,★★★★☆] 已知函数 f(x) = e x x - ln x + x - a. (1) 若 f(x) ≥ 0,求 a 的取值范围; (2) 证明:若 f(x) 有两个零点 x1,x2,则 x1x2 < 1. 42 10. [2022·全国卷乙(文),20T,12 分,★★★★☆] 已知函数 f(x) = ax - 1 x - (a + 1)ln x. (1) 当 a = 0 时,求 f(x) 的最大值; (2) 若 f(x) 恰有一个零点,求 a 的取值范围. 11. [2021·天津卷,20T,16 分,★★★★☆] 已知 a > 0,函数 f(x) = ax - xex . (1) 求曲线 y = f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线方程; (2) 证明 f(x) 存在唯一的极值点; (3) 若存在 a,使得 f(x) ≤ a + b 对任意x ∈ R 成立,求实数 b 的取值范围. 12. [2020·浙江卷,22T,15 分,★★★★★] 已知1 < a ≤ 2,函数 f(x) = ex -x - a,其中 e =