三点共线斜率解决法讲义-2024届高三数学二轮复习

三点共线斜率解决法 你可曾因题目点太多而对圆锥曲线产生心理阴影？在这众多的点中找到关键的点，利用三点共线，写出斜率表达式是其中的一种解决方法． 例１（2022·全国·统考高考真题改编）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，求证：AB过定点 解：(１) (２)设， 设,若 P、M、N三点共线，由 所以，化简得， 反之，若,可得MN过定点 因此，由M、N、F三点共线，得， 由M、D、A三点共线，得， 由N、D、B三点共线，得， 则，AB过定点（4,0） 例２（2019·全国·高考真题）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 解：(１) (２)（i）由题意设，则． 因为Q，E，G三点共线，所以， 又因为点P，G在椭圆上，所以， 两式相减得， 所以，所以． （ii）设，则直线的方程为 联立解得 所以直线的方程为 联立直线的方程和椭圆C的方程 可得 则 所以． 令，即 ． 注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减 所以当时，． 例3、已知椭圆： 1，A1、A2为左右两焦点，B(2，0)，M、N为异于A1、A2椭圆上两点，MN不过原点，且不与坐标轴平行.M关于原点对称的点为S，若A1S与A2N交于T，OT与MN交于R，证明：在椭圆上存在点E，使三角形RBE面积为定值，并求出定值 解：MN：x=myn M(x1，y1) N(x2，y2) MN与椭圆联立得：(5m29)y210mny5n245=0 y1y2 y1y2 A1(3，0) A2(3，0) 设T(x0，y0) T、 S、A1三点共线： 利用三点共线得到斜率关系，转化得到其他关系式 T、N、A2三点共线： 则 所以OT斜率为 直线 OT：y x OT与MN联立得x3 所以R在x3上 使得三角形RBE面积为定值的E一定为过B且与直线x3平行的直线与椭圆C的交点 解得E(2，) 或E(2，) 所以SRBE 注：三点共线问题对于很多同学来说都不知道该什么时候用，这是困扰大家最大的地方.当题目出现很多点时，且总存在几对点处于同一条直线上，我们往往会用到三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $$